2022年高考数学一轮复习考点练习12《导数的运算、几何意义》(含答案详解)

一轮复习考点练习12《导数的运算、几何意义》

一、选择题

1.直线y=x＋b是曲线y=ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为(　　)

A.2         B.ln 2＋1       C.ln 2－1         D.ln 2

2.已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)

A.0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)

B.0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)

C.0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)

D.0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)

3.已知曲线f(x)=ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为(　　)

A.e         B.－e        C.         D.－

4.已知f(x)=ln x，g(x)=x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　)

A.－1         B.－3         C.－4         D.－2

5.若曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b=(　　)

A.－1         B.0       C.1         D.2

6.如图，y=f(x)是可导函数，直线l：y=kx＋2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)=(　　)

A.－1         B.0        C.2         D.4

7.曲线f(x)=在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a=(　　)

A.1         B.－1       C.7         D.－7

8.已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α取值范围是(　　)

A.         B.     C.         D.

9.若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　)

A.y=sin x         B.y=ln x        C.y=ex         D.y=x3

10.已知函数fn(x)=xn＋1，n∈N的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 020x1＋log2 020x2＋…＋log2 020x2 019的值为(　　)

A.－1      B.1－log2 0202 019     C.－log2 0192 018         D.1

二、填空题

11.曲线y=2ln x在点(1，0)处的切线方程为________.

12.已知a∈R，设函数f(x)=ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.

13.已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=ln(－x)＋3x，则曲线y=f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________.

14.已知函数y=f(x)的图象在点M(2，f(2))处切线方程是y=x＋4，则f(2)＋f′(2)=____.

15.若函数f(x)=x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.

16.若点P是曲线y=x2－ln x上任意一点，则点P到直线y=x－2的最小距离为________.

0.答案解析

1.答案为：C；

解：∵y=ln x的导数为y′=，∴=，解得x=2，∴切点为(2，ln 2).

将其代入直线y=x＋b，得b=ln 2－1.

2.答案为：C；

解：由函数f(x)的图象可得函数f(x)的导函数f′(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，

f(x)在[2，3]上的平均变化率小于函数f(x)在点(2，f(2))处的瞬时变化率，

大于f(x)在点(3，f(3))处的瞬时变化率，

所以0＜f′(3)＜＜f′(2)，即0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2).

3.答案为：C；

解：解法一：∵f(x)=ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)=.

设切点P(x0，ln x0)，则切线的斜率k=f′(x0)==，

∴ln x0=1，x0=e，∴k==.

解法二：(数形结合法)在同一坐标系中作出曲线f(x)=ln x及曲线f(x)=ln x经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C.

4.答案为：D；

解：∵f′(x)=，∴直线l的斜率k=f′(1)=1.又f(1)=0，

∴直线l的方程为y=x－1.

g′(x)=x＋m，设直线l与g(x)图象的切点为(x0，y0)，

则

∴－m=(1－m)2＋m(1－m)＋，得m=－2，故选D.

5.答案为：C；

解：依题意得，f′(x)=－asin x，g′(x)=2x＋b，

于是有f′(0)=g′(0)，即－asin 0=2×0＋b，b=0，

m=f(0)=g(0)，即m=a=1，因此a＋b=1.

6.答案为：B；

解：依题意得f(3)=k×3＋2=1，k=－，

则f′(3)=k=－，g′(3)=f(3)＋3f′(3)=1－1=0，故选B.

7.答案为：C；

解：f′(x)==，

又∵f′(1)=tan=－1，∴a=7.

8.答案为：A；

解：∵y=，∴y′===.

∵ex＞0，∴ex＋≥2，∴y′∈[－1，0)，∴tan α∈[－1，0).

又α∈[0，π)，∴α∈，故选A.

9.答案为：A；

解：设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1≠x2，

则由题意知，只需函数y=f(x)满足f′(x1)·f′(x2)=－1即可，

y=f(x)=sin x的导函数为f′(x)=cos x，则f′(0)f′(π)=－1,

故函数y=sin x具有T性质：y=f(x)=ln x的导函数为f′(x)=，

则f′(x1)·f′(x2)=＞0，故函数y=ln x不具有T性质；

y=f(x)=ex的导函数为f′(x)=ex，则f′(x1)·f′(x2)=ex1＋x2＞0，

故函数y=ex不具有T性质；y=f(x)=x3的导函数为f′(x)=3x2，

则f′(x1)f′(x2)=9xx≥0，故函数y=x3不具有T性质.故选A.

10.答案为：A；

解：由题意可得点P的坐标为(1，1)，f′n(x)=(n＋1)·xn，

所以fn(x)图象在点P处的切线的斜率为n＋1，

故可得切线的方程为y－1=(n＋1)(x－1)，

所以切线与x轴交点的横坐标为xn=，

则log2 020x1＋log2 020x2＋…＋log2 020x2 019=log2 020(x1x2·…·x2 019)

=log2 020=log2 020=－1，故选A.

11.答案为：2x－y－2=0.

解析：由y=2ln x得y′=.因为k=y′|x=1=2，点(1，0)为切点，

所以切线方程为y=2(x－1)，即2x－y－2=0.

12.答案为：1.

解析：由题意可知f′(x)=a－，所以f′(1)=a－1，

因为f(1)=a，所以切点坐标为(1，a)，

所以切线l的方程为y－a=(a－1)(x－1)，即y=(a－1)x＋1.

令x=0，得y=1，即直线l在y轴上的截距为1.

13.答案为：y=－2x－1.

解析：令x＞0，则－x＜0，f(－x)=ln x－3x，

又f(－x)=f(x)，∴f(x)=ln x－3x(x＞0)，

则f′(x)=－3(x＞0)，∴f′(1)=－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y＋3=

－2(x－1)，则y=－2x－1.

14.答案为：7.

解析：y=f(x)的图象在点M(2，f(2))处的切线方程是y=x＋4，可得f(2)=2＋4=6，

f′(2)=1，则f(2)＋f′(2)=6＋1=7.

15.答案为：[2，＋∞).

解析：∵f(x)=x2－ax＋ln x的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)=x－a＋.

∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，

即x＋－a=0有解，∴a=x＋≥2(当且仅当x=1时取等号).

16.答案为：.

解析：由y=x2－ln x，得y′=2x－(x＞0)，

设点P0(x0，y0)是曲线y=x2－ln x上到直线y=x－2的距离最小的点，

则y′x=x0=2x0－=1，解得x0=1或x0=－(舍去).∴点P0的坐标为(1,1).

∴所求的最小距离为=.