2022年高考数学一轮复习考点练习31《空间几何体及其体积、表面积》(含答案详解)

一轮复习考点练习31《空间几何体及其体积、表面积》

一、选择题

1.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(　　)

A.①②         B.①③       C.①④         D.②④

2.已知一个三棱锥的俯视图与侧(左)视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧(左)视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正(主)视图可能为(　　)

3.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是(　　)

A.4，8         B.4，     C.4(＋1)，       D.8，8

4.圆环内圆半径为4，外圆半径为5，则圆环绕其对称轴旋转一周形成的几何体的体积为(　　)

A.         B.        C.         D.

5.一个正三棱柱被平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)

A.　　　        B.        C.　　        D.

6.已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是(　　)

A.         B.       C.         D.

7.正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A­B1DC1的体积为(　　)

A.3         B.         C.1         D.

8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为(　　)

A.         B.         C.4π        D.π

9.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S­ABC的体积最大为(　 　)

A.2          B.          C.          D.2

10.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)

A.36π         B.64π       C.144π         D.256π

11.现有一块半球形原料，若通过切削将该原料加工成一个正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为(　　)

A.         B.        C.         D.

12.三棱锥A－BCD的外接球为球O，球O的直径AD=2，且△ABC，△BCD都是等边三角形，

则三棱锥A－BCD的体积是(　　)

A.         B.          C.        D.

二、填空题

13.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，

则该三棱锥的体积是        .

14.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，M，N分别为AB，PC的中点，PD=AD=2，AB=4.则点A到平面PMN的距离为________.

15.已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，顶点P在底面的投影为底面中心，若该四棱锥外接球的半径为3，则该四棱锥体积的最大值是           .

16.已知底面是正六边形的六棱锥P­ABCDEF的七个顶点均在球O的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为________.

0.答案解析

1.答案为：D；

解析：①中正、侧、俯三视图均相同，不符合题意；②中正、侧视图均相同，符合题意；

③中正、侧、俯三视图均不相同，不符合题意；④中正、侧视图均相同，符合题意.

2.答案为：C

解析：由已知条件得直观图如图所示，则正(主)视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线.故选C.

3.答案为：B；

解析：由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，

∴四棱锥的体积V=×22×2=；四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为，

∴S侧=4××2×=4.

4.答案为：A；

解析：该旋转体是大球体中挖掉一个小球体，该旋转体体积为V=×53－×43=.

5.答案为：A

解析：由三视图可知，剩余部分所表示的几何体是从正三棱柱ABC－A1B1C1(其底面边长是2)中截去三棱锥E－A1B1C1(其中E是侧棱BB1的中点)，

因此三棱锥E－A1B1C1的体积为VE－A1B1C1=××22×1=，

剩余部分的体积为V=VABC－A1B1C1－VE－A1B1C1=×22×2－=，

因此截去部分体积与剩余部分体积的比值为.故选A.

6.答案为：C；

解析：设点A1到截面AB1D1的距离是h，由VA1­AB1D1=VA­A1B1D1，

可得S△AB1D1·h=S△A1B1D1·AA1，即××2×2×4=×h，解得h=.

7.答案为：C；

解析：∵D是等边三角形ABC的边BC的中点，∴AD⊥BC.

又ABC­A1B1C1为正三棱柱，∴AD⊥平面BB1C1C.

又四边形BB1C1C为矩形，∴S△DB1C1=S四边形BB1C1C=×2×=.

又AD=2×=，∴VA­B1DC1=S△B1DC1·AD=××=1.故选C.

8.答案为：A

解析：由三视图可知，该几何体为一个三棱锥，令其为三棱锥A－BCD，

由俯视图可知，底面BCD是一个等腰直角三角形，∠BCD为直角.

平面ABD⊥平面BCD，易知外接球的球心O为△ABD的中心，

则球O的半径R=，外接球的表面积等于4πR2=4π×2=.

9.答案为：A.

解析：如图，因为球的直径为SC，且SC=4，∠ASC=∠BSC=30°，所以∠SAC=∠SBC=90°，AC=BC=2，SA=SB=2，所以S△SBC=×2×2=2，则当点A到平面SBC的距离最大时，

棱锥A­SBC即S­ABC的体积最大，此时平面SAC⊥平面SBC，

点A到平面SBC的距离为2sin30°=，

所以棱锥S­ABC的体积最大为×2×=2，故选A.

10.答案为：C；

解析：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O­ABC的体积最大，

设球O的半径为R，此时VO­ABC=VC­AOB=×R2×R=R3=36，故R=6，

则球O的表面积为S=4πR2=144π.

11.答案为：A；

解析：当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，

所得工件体积与原材料体积之比取得最大值，设此时正方体的棱长为a，

则球的半径为R==a，所以所求体积比为=，故选A.

12.答案为：A

解析：取△ABC外接圆的圆心为F，连接AD的中点即球心O与F(图略).

由球的性质可知OF与平面ABC垂直，AB=BD=，连接AF，在Rt△AOF中，

AO=1，AF=，故OF==.

又AD=2OA，故点D到平面ABC的距离h=2OF=，

因此VA－BCD=VD－ABC=××()2×=.故选A.

13.答案为：.

解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且AB=AD=BC=CD=2，BD=2，

设O为BD的中点，连接OA，OC，则OA⊥BD，OC⊥BD，结合正视图可知AO⊥平面BCD.

又OC==1，∴V三棱锥A­BCD=××1=.

14.答案为：.

解析：取PD的中点E，连接AE，NE，则在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，

M，N分别为AB，PC的中点，所以NE∥AM，NE=AM，

所以四边形AENM是平行四边形，所以AE∥MN，

所以点A到平面PMN的距离等于点E到平面PMN的距离，设为h，

在△PMN中，PN=，PM=2，MN=，所以S△PMN=×2×=，

由VE­PMN=VM­PEN，可得×h=××1×2×2，所以h=.

15.答案为：.

16.答案为：.

解析：因为六棱锥P­ABCDEF的七个顶点均在球O的表面上，

由对称性和底面正六边形的面积为定值知，当六棱锥P­ABCDEF为正六棱锥时，

体积最大.设正六棱锥的高为h，则×(6××1×1×sin60°)h=，解得h=2.

记球O的半径为R，根据平面截球面的性质，得(2－R)2＋12=R2，解得R=，

所以球O的表面积为4πR2=4π()2=.