2022年高考数学一轮复习考点练习37《抛物线》(含答案详解)

一轮复习考点练习37《抛物线》

一、选择题

1.若抛物线x2=4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n=(　　)

A.        B.        C.3        D.4

2.若点A，B在抛物线y2=2px(p＞0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4，

则该抛物线方程是(　　)

A.y2=x          B.y2=x        C.y2=2x          D.y2=x

3.已知抛物线C：x2=2py(p＞0)，若直线y=2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为(　　)

A.x2=8y            B.x2=4y       C.x2=2y            D.x2=y

4.设抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为(　　)

A.y2=4x或y2=8x     B.y2=2x或y2=8x    C.y2=4x或y2=16x     D.y2=2x或y2=16x

5.过抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，若|NF|=4，则M到直线NF的距离为(　　)

A.        B.2       C.3        D.2

6.设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为(　　)

A.相离

B.相切

C.相交但不经过圆心

D.相交且经过圆心

7.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足

|NF|=|MN|，则点F到MN的距离为(　　)

A.        B.1        C.        D.2

8.已知抛物线y2=2x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4，且|AF|＞2，则点A到原点的距离为(　　)

A.            B.2        C.4            D.8

9.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若=4，则|QF|等于(　　)

A.            B.          C.3            D.2

10.已知抛物线y2=2px(p＞0)过点A(,)，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若=λ，则实数λ为(　　)

A.            B.        C.2            D.3

11.已知抛物线y2=8x，点Q是圆C：x2＋y2＋2x－8y＋13=0上任意一点，记抛物线上任意一点P到直线x=－2的距离为d，则|PQ|＋d的最小值为(　　)

A.5            B.4        C.3            D.2

12.已知过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S，则的取值范围是(　　)

A.(0，2)        B.[2，＋∞)     C.(0，2]        D.(2，＋∞)

二、填空题

13.过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|=2|BF|=6，

则p=________.

14.抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________.

15.设P是抛物线y2=4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x=－1的距离之和的最小值为________.

16.已知F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·=－4(其中O为坐标原点)，则△ABO面积的最小值是________.

0.答案解析

1.答案为：D；

解析：抛物线x2=4y的准线方程为y=－1，根据抛物线定义可知，5=n＋1，得n=4，故选D.

2.答案为：A；

解析：根据抛物线的对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是4，故AB2=4，

故AB=4，正三角形的高为2，故可以设点A的坐标为(2，2)代入抛物线方程

得4=4p，解得p=，故所求的抛物线方程为y2=x.故选A.

3.答案为：C；

解析：由得或

即两交点坐标为(0，0)和(4p，8p)，则=4，得p=1(舍去负值)，

故抛物线C的方程为x2=2y.

4.答案为：C；

解析：由已知得抛物线的焦点F(,0)，设点A(0，2)，抛物线上点M(x0，y0)，

则=，=.由已知得，·=0，即y－8y0＋16=0，

因而y0=4，M.由|MF|=5得，=5，又p＞0，解得p=2或p=8，

即抛物线方程为y2=4x或y2=16x.

5.答案为：B；

解析：∵直线MF的斜率为，MN⊥l，∴∠NMF=60°，又|MF|=|MN|，且|NF|=4，

∴△NMF是边长为4的等边三角形，∴M到直线NF的距离为2.故选B.

6.答案为：B；

解析：设圆心为M，过点A，B，M分别作准线 l的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，

则|MM1|=(|AA1|＋|BB1|).由抛物线定义可知|BF|=|BB1|，|AF|=|AA1|，

∴|AB|=|BB1|＋|AA1|，|MM1|=|AB|，即圆心M到准线l的距离等于圆的半径，

故以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切.

7.答案为：B；

解析：由题可知|MF|=2，设点N到准线的距离为d，由抛物线的定义可得d=|NF|，

因为|NF|=|MN|，所以cos∠NMF===，所以sin∠NMF==，

所以点F到MN的距离为|MF|sin∠NMF=2×=1，故选B.

8.答案为：B；

解析：令点A到点F的距离为5a，点A到x轴的距离为4a，

则点A的坐标为(5a-，4a)，代入y2=2x中，解得a=或a=(舍)，此时A(2，2)，

故点A到原点的距离为2.

9.答案为：C；

解析：因为=4，所以||=4||，所以=.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，

设l与x轴的交点为A，则|AF|=4，所以==，所以|QQ′|=3，

根据抛物线定义可知|QQ′|=|QF|=3.

10.答案为：C；

解析：把点A(,)代入抛物线的方程得2=2p×，解得p=2，

所以抛物线的方程为y2=4x，则B(－1，0)，设M，则=，

=(－1－，－yM)，由=λ，得解得λ=2或λ=1(舍去)，故选C.

11.答案为：C；

解析：如图，由题意知抛物线y2=8x的焦点为F(2，0)，连接PF，FQ，则d=|PF|，

将圆C的方程化为(x＋1)2＋(y－4)2=4，圆心为C(－1，4)，半径为2，

则|PQ|＋d=|PQ|＋|PF|，又|PQ|＋|PF|≥|FQ|(当且仅当F，P，Q三点共线时取得等号).

所以当F，Q，C三点共线时取得最小值，且为|CF|－|CQ|=3，故选C.

12.答案为：D；

解析：由题意知，抛物线y2=8x的焦点F的坐标为(2，0)，直线l的斜率存在且不为0，

设直线l的方程为y=k(x－2).由消去y整理得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2=0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x0，y0)，S(x3，y3)，则x1＋x2=，故x0==，y0=k(x0－2)=，所以kOS==，直线OS的方程为y=x，代入抛物线方程，

解得x3=，由条件知k2＞0.所以==k2＋2＞2.选D.

13.答案为：4.

解析：法一：设直线AB的倾斜角为α，分别过A，B作准线l的垂线AA′，BB′，

垂足分别为A′，B′，则|AA′|=6，|BB′|=3，过点B作AA′的垂线BC，垂足为C，

则|AC|=3，|BC|=6，∠BAC=α，

所以sin α==，所以|AB|==9，解得p=4.

法二：设直线AB的倾斜角为α，不妨设A在x轴上方，B在x轴下方，

则|AF|=，|BF|=，则有=2×，

解得cos α=，又|AF|==6，所以p=4.

法三：由结论＋=，得＋=，解得p=4.

14.答案为：y2=16x.

解析：设满足题意的圆的圆心为M.根据题意可知圆心M在抛物线上，

又因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，则|MF|=xM＋=6，即xM=6－，

又由题意可知xM=，所以=6－，解得p=8.所以抛物线方程为y2=16x.

15.答案为：.

解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程是x=－1，

由抛物线的定义知，点P到直线x=－1的距离等于点P到F的距离.

于是问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的

距离之和最小，连接AF交抛物线于点P，此时最小值为|AF|=.

16.答案为：4.

解析：不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞0，由·=－4，即x1x2＋y1y2=－4得

yy＋y1y2=－4，得y1y2=－8.所以S△ABO=|x1y2－x2y1|=|y1－y2|≥4，

当y1=2，y2=－2时取等号，故△ABO面积的最小值为4.