2022年高考数学一轮复习考点练习39《曲线与方程》(含答案详解)

一轮复习考点练习39《曲线与方程》

一、选择题

1.方程(x2＋y2－2x)=0表示的曲线是(　　)

A.一个圆和一条直线

B.一个圆和一条射线

C.一个圆

D.一条直线

2.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)

A.圆        B.椭圆       C.双曲线        D.抛物线

3.平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3).若点C满足=λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2=1，则点C的轨迹是(　　)

A.直线        B.椭圆         C.圆        D.双曲线

4.有一动圆P恒过定点F(a,0)(a＞0)且与y轴相交于点A，B.若△ABP为正三角形，

则点P的轨迹为(　　)

A.直线        B.圆         C.椭圆        D.双曲线

5.已知θ是△ABC的一个内角，且sin θ＋cos θ=，则方程x2sin θ－y2cos θ=1表示(　　)

A.焦点在x轴上的双曲线

B.焦点在y轴上的双曲线

C.焦点在x轴上的椭圆

D.焦点在y轴上的椭圆

6.已知F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为(　　)

A.直线        B.圆         C.椭圆        D.双曲线

7.已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.

若=λ·，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是(　　)

A.圆            B.椭圆         C.抛物线            D.双曲线

8.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|=2|PB|，则动点P的轨迹是(　　)

A.直线        B.圆          C.椭圆        D.双曲线

9.设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|=5，=＋，

则点M的轨迹方程为(　　)

A.＋=1         B.＋=1   C.＋=1       D.＋=1

10.若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)，距离之差的绝对值为8，

则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是(　　)

A.x＋y=5　　    B.x2＋y2=9       C.＋=1         D.x2=16y

11.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM=，点P在平面ABCD内，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是(　　)

A.直线            B.圆       C.双曲线            D.抛物线

12.已知圆O的方程为x2＋y2=9，若抛物线C过点A(－1，0)，B(1，0)，且以圆O的切线为准线，则抛物线C的焦点F的轨迹方程为(　　)

A.－=1(x≠0)     B.＋=1(x≠0)   C.－=1(y≠0)     D.＋=1(y≠0)

二、填空题

13.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足=＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________.

14.已知圆的方程为x2＋y2=4，若抛物线过点A(－1，0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，

则抛物线焦点的轨迹方程是________.

15.在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a＞0)，且满足条件sin C－sin B=sin A，则动点A的轨迹方程是________.

16.如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1，0)，B(1，0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.则曲线M的方程为________.

0.答案解析

1.答案为：D

解析：题中的方程等价于①x＋y－3=0或②

注意到圆x2＋y2－2x=0上的点均位于直线x＋y－3=0的左下方区域，即圆x2＋y2－2x=0上的点均不满足x＋y－3≥0，故②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3=0.

2.答案为：B

解析：设椭圆的右焦点是F2，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|=2a＞2c，

所以|PF1|＋|PO|=(|MF1|＋|MF2|)=a＞c，所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆.

3.答案为：A

解析：设C(x，y)，因为=λ1＋λ2，

所以(x，y)=λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，

即解得

又λ1＋λ2=1，所以＋=1，即x＋2y=5.所以点C的轨迹为直线.故选A.

4.答案为：D

解析：设P(x，y)，动圆P的半径为R，

∵△ABP为正三角形，∴P到y轴的距离d=R，即|x|=R.

而R=|PF|=，∴|x|=·，

整理得(x＋3a)2－3y2=12a2，即－=1，

∴点P的轨迹为双曲线.故选D.

5.答案为：D；

解析：因为(sin θ＋cos θ)2=1＋2sin θcos θ=，所以sin θcos θ=－＜0，

又sin θ＋cos θ=＞0，所以sin θ＞－cos θ＞0，故＞＞0，

而x2sin θ－y2cos θ=1可化为＋=1，

故方程x2sin θ－y2cos θ=1表示焦点在y轴上的椭圆.

6.答案为：B；

解析：不妨设点Q在双曲线的右支上，延长F1P交直线QF2于点S，

∵QP是∠F1QF2的平分线，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中点.

∵O是F1F2的中点，∴PO是△F1SF2的中位线，

∴|PO|=|F2S|=(|QS|－|QF2|)=(|QF1|－|QF2|)=a，∴点P的轨迹为圆.

7.答案为：C；

解析：以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

设M(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则N(x，0).因为=λ·，

所以y2=λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2=λa2，

当λ=1时，轨迹是圆；

当λ＞0且λ≠1时，轨迹是椭圆；

当λ＜0时，轨迹是双曲线；

当λ=0时，轨迹是直线.

综上，动点M的轨迹不可能是抛物线.

8.答案为：B

解析：设P(x，y)，则=2，整理得x2＋y2－4x=0，

又D2＋E2－4F=16＞0，所以动点P的轨迹是圆.

9.答案为：A；

解析：设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，由=＋，

得(x，y)=(x0，0)＋(0，y0)，则解得

由|AB|=5，得＋=25，化简得＋=1.

10.答案为：B；

解析：因为M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，

所以M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为－=1.

A项，直线x＋y=5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；

B项，x2＋y2=9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；

C项，＋=1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；

D项，方程代入－=1，可得y－=1，即y2－9y＋9=0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”.

11.答案为：D；

解析：在平面ABCD内过点P作PF⊥AD，垂足为F，过点F在平面AA1D1D内作FE⊥A1D1，

垂足为E，连接PE，则有PE⊥A1D1，即PE为点P到A1D1的距离.由题意知|PE|2－|PM|2=1，

又因为|PE|2=|PF|2＋|EF|2，所以|PF|2＋|EF|2－|PM|2=1，

即|PF|2=|PM|2，即|PF|=|PM|，所以点P满足到点M的距离等于点P到直线AD的距离.

由抛物线的定义知点P的轨迹是以点M为焦点，AD为准线的抛物线，

所以点P的轨迹为抛物线.

12.答案为：D；

解析：设抛物线C的焦点为F(x，y)，准线为l，过点A，B，O分别作AA′⊥l，

BB′⊥l，OP⊥l，其中A′，B′，P分别为垂足，则l为圆的切线，P为切点，

且|AA′|＋|BB′|=2|OP|=6.因为抛物线过点A，B，所以|AA′|=|FA|，|FB|=|BB′|，

所以|FA|＋|FB|=|AA′|＋|BB′|=6＞|AB|=2，

所以点F的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，

且点F不在x轴上，所以抛物线C的焦点F的轨迹方程为＋=1(y≠0).

13.答案为：y=2x－2

解析：设C(x，y)，则=(x，y)，＋t(－)=(1＋t，2t)，

所以消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x－2.

14.答案为：＋=1(y≠0)

解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，

则|AA1|＋|BB1|=2|OO1|=4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|=|FA|＋|FB|，

所以|FA|＋|FB|=4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线焦点的轨迹方程为＋=1(y≠0).

15.答案为：－=1(x＞0且y≠0).

解析：由正弦定理得－=×，即|AB|－|AC|=|BC|，

故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线的右支，

即动点A的轨迹方程为－=1(x＞0且y≠0).

16.答案为：＋=1(y≠0)

解析：由题知|CA|＋|CB|=|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|=2|CP|＋|AB|=4＞|AB|，

所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点).

设曲线M的方程为＋=1(a＞b＞0，y≠0)，

则a2=4，b2=a2－(0.5|AB|)2=3，所以曲线M：＋=1(y≠0)为所求.