2022年高考数学一轮复习考点练习48《离散型随机变量的分布列、均值与方差》(含答案详解)

一轮复习考点练习48《离散型随机变量的分布列、均值与方差》

一、选择题

1.已知5件产品中有2件次品，现逐一考点练习，直至能确定所有次品为止，记考点练习的次数为ξ，则E(ξ)=(　　)

A.3          B.        C.          D.4

2.某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动.参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)=(　　)

A.1          B.      C.          D.2

3.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，

且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为(　　)

A.          B.       C.          D.

4.设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105.随机变量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，

随机变量ξ2取值，，，，的概率也为0.2.若记D(ξ1)，D(ξ2)分别为ξ1，ξ2的方差，则(　　)

A.D(ξ1)＞D(ξ2)

B.D(ξ1)=D(ξ2)

C.D(ξ1)＜D(ξ2)

D.D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关

5.体育课的排球发球项目考试的规则：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是(　　)

A.          B.       C.          D.

6.设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是

则当p在(0,1)内增大时，(　　)

A.D(ξ)减小

B.D(ξ)增大

C.D(ξ)先减小后增大

D.D(ξ)先增大后减小

7.口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，

以X表示取出球的最小号码，则E(X)=(　　)

A.0.45          B.0.5     C.0.55          D.0.6

8.设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)=，则D(3Y＋1)=(　　)

A.2         B.3         C.6         D.7

二、填空题

9.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)=      .

10.一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了.设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为      .

11.设随机变量X的概率分布列为

则P(|X－3|=1)=________.

12.已知X是离散型随机变量，P(X=x1)=，P(X=x2)=，且x1＜x2.若E(X)=，D(X)=，

则x1＋x2的值为________.

三、解答题

13.从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中摸球(不放回)，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球，则试验结束.

(1)求第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球的概率；

(2)记试验次数为X，求X的分布列及数学期望.

14.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.

(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；

(2)求η的分布列及期望E(η).

15.某省电视台举行歌唱大赛，大赛依次设初赛、复赛、决赛三个轮次的比赛.已知某歌手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为，，，且各轮次通过与否相互独立.记该歌手参赛轮次为ξ.

(1)求ξ的分布列和数学期望；

(2)记“函数f(x)=3sin()(x∈R)是偶函数”为事件A，求A发生的概率.

0.答案解析

1.答案为：B；

解析：由题意知，ξ的所有可能取值为2,3,4，其概率分别为P(ξ=2)==，

P(ξ=3)==，P(ξ=4)==，

所以E(ξ)=2×＋3×＋4×=.故选B.

2.答案为：B；

解析：由已知得ξ的可能取值为0,1,2,3.

P(ξ=0)=××=，P(ξ=1)=××＋××＋××=，

P(ξ=2)=××＋××＋××=，P(ξ=3)=××=.

∴E(ξ)=0×＋1×＋2×＋3×=.

3.答案为：B；

解析：由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮，

则该轮比赛停止的概率为2＋2=.

若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，

该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响.

所以P(ξ=2)=，P(ξ=4)=×=，P(ξ=6)=2=，

所以E(ξ)=2×＋4×＋6×=.故选B.

4.答案为：A；

解析：由题意可知E(ξ1)=(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，

E(ξ2)==(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，期望相等，

都设为m，∴D(ξ1)=[(x1－m)2＋…＋(x5－m)2]，

D(ξ2)=，

∵10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，∴D(ξ1)＞D(ξ2).故选A.

5.答案为：C；

解析：根据题意，发球次数为1即第一次发球成功，故P(X=1)=p，

发球次数为2即第一次发球失败，第二次发球成功，故P(X=2)=p(1－p)，

发球次数为3即第一次、第二次发球失败，故P(X=3)=(1－p)2，

则E(X)=p＋2p(1－p)＋3(1－p)2=p2－3p＋3，

依题意有E(X)＞1.75，则p2－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜，

结合p的实际意义，可得0＜p＜，即p∈，故选C.

6.答案为：D；

解析：由题意知E(ξ)=0×＋1×＋2×=p＋，

D(ξ)=2×＋2×＋2×

=2×＋2×＋2×=－p2＋p＋=－2＋，

∴D(ξ)在上递增，在上递减，即当p在(0,1)内增大时，D(ξ)先增大后减小.

7.答案为：B；

解析：易知随机变量X的取值为0,1,2，由古典概型的概率计算公式得：

P(X=0)==0.6，P(X=1)==0.3，P(X=2)==0.1.

所以E(X)=0×0.6＋1×0.3＋2×0.1=0.5，故选B.

8.答案为：C

解析：由题意得P(X≥1)=P(X=1)＋P(X=2)=Cp(1－p)＋Cp2=，所以p=，

则Y～B(3,)，故D(Y)=3××(1-)=，所以D(3Y＋1)=9D(Y)=9×=6.

9.答案为：1.96.

解析：依题意，X～B(100,0.02)，所以D(X)=100×0.02×(1－0.02)=1.96.

10.答案为：1.

解析：将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，

放对的个数ξ可取的值有0,1,2,4.其中，

P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，P(ξ=4)==，

所以E(ξ)=0×＋1×＋2×＋4×=1.

11.答案为：.

解析：由＋m＋＋=1，解得m=，P(|X－3|=1)=P(X=2)＋P(X=4)=＋=.

12.答案为：3.

解析：由题意得X的所有可能取值为x1，x2，所以E(X)=x1＋x2=，

D(X)=2＋2=，整理得

解得或(舍去)，故x1＋x2=3.

13.解：(1)记“第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球”为事件A，

则P(A)==.

(2)X的所有可能取值为1,2,3,4，

P(X=1)==，P(X=2)=×=；

P(X=3)=××=；P(X=4)=×××=.

∴X的分布列为

E(X)=1×＋2×＋3×＋4×=.

14.解：(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，

可得表示事件“购买该商品的3位顾客中，无人采用1期付款”.

又P()=(1－0.4)3=0.216，

故P(A)=1－P()=1－0.216=0.784.

(2)η的所有可能取值为200,250,300.

P(η=200)=P(ξ=1)=0.4，

P(η=250)=P(ξ=2)＋P(ξ=3)=0.2＋0.2=0.4，

P(η=300)=P(ξ=4)＋P(ξ=5)=0.1＋0.1=0.2.

所以η的分布列为

E(η)=200×0.4＋250×0.4＋300×0.2=240.

15.解：(1)ξ的所有可能取值为1,2,3.

P(ξ=1)=，P(ξ=2)=×=，P(ξ=3)=×=.

所以ξ的分布列为

E(ξ)=1×＋2×＋3×=.

(2)若f(x)=3sin()(x∈R)是偶函数，则ξ=1或ξ=3.

故P(A)=P(ξ=1)＋P(ξ=3)=＋=.