2022年高考数学一轮复习考点练习49《正态分布》(含答案详解)

一轮复习考点练习49《正态分布》

一、选择题

1.已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)=(　　)

A.          B.       C.4          D.

2.甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我考点练习题，甲的及格概率为，乙的及格概率为，丙的及格概率为，则三人中至少有一人及格的概率为(　　)

A.          B.         C.          D.

3.已知随机变量X，Y满足X＋Y=8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是(　　)

A.6和2.4          B.2和2.4     C.2和5.6          D.6和5.6

4.如图是总体的正态曲线，下列说法正确的是(　　)

A.组距越大，频率分布直方图的形状越接近于它

B.样本容量越小，频率分布直方图的形状越接近于它

C.阴影部分的面积代表总体在(a，b)内取值的百分比

D.阴影部分的平均高度代表总体在(a，b)内取值的百分比

5.设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)=，则P(η≥2)的值为(　　)

A.          B.         C.          D.

6.已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为0.683,0.955和0.997.某校为高一年级1 000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布N(165,52)，则适合身高在155～175 cm范围内学生的校服大约要定制(　　)

A.683套          B.955套     C.972套          D.997套

7.1月某校高三年级1 600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X～N(100，σ2)(试卷满分为150分).统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为(　　)

A.80          B.100       C.120          D.200

8.经考点练习，有一批产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，记其中合格产品的件数为ξ，则P(ξ=k)取得最大值时，k的值为(　　)

A.5          B.4       C.3          D.2

二、填空题

9.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是     .

10.已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100,4).现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有        件.

附：若X服从正态分布N(μ，σ2)，

则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954 5.

11.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________.

12.已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(X＞0)=0.8，则P(X≥2)=________.

三、解答题

13.某班级准备从甲、乙两人中选一人参加某项比赛，已知在一个学期的10次考试中，甲、乙两人的成绩(单位：分)的茎叶图如图所示.

(1)你认为选派谁参赛更合适？并说明理由.

(2)若从甲、乙两人10次的成绩中各随机抽取1次，设抽到的2次成绩中，90分以上的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

14.近日，某市举行了教师选拔考试(既有笔试又有面试)，该市教育局对参加该次考试的50名教师的笔试成绩(单位：分)进行分组，得到的频率分布表如下：

(1)求频率分布表中x，y，z的值，并补充频率分布直方图；

(2)估计参加考试的这50名教师的笔试成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)若该市教育局决定在分数较高的第三、四、五组中任意抽取2名教师进入面试，

设ξ为抽到的第五组教师的人数，求ξ的分布列及数学期望.

15.从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z＜95时，产品为次品.公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元.记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；

(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表).

①利用该正态分布，求P(87.8＜Z＜112.2)；

②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的产品件数，利用①的结果，求E(X).

附：≈12.2.

若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)=0.682 7，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)=0.954 5.

0.答案解析

1.答案为：B；

解析：由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X=3)==，P(X=4)==，P(X=5)==，所以E(X)=3×＋4×＋5×=.

2.答案为：D；

解析：设“甲及格”为事件A，“乙及格”为事件B，“丙及格”为事件C，

则P(A)=，P(B)=，P(C)=，∴P()=，P()=，P()=，

则P(  )=P()P()P()=××=，

∴三人中至少有一人及格的概率P=1－P(  )=.故选D.

3.答案为：B；

解析：∵随机变量X，Y满足X＋Y=8，X～B(10，0.6)，

∴E(X)=10×0.6=6，D(X)=10×0.6×0.4=2.4，

则E(Y)=E(8－X)=8－E(X)=8－6=2，D(Y)=D(8－X)=D(X)=2.4.故选B.

4.答案为：C；

解析：总体的正态曲线与频率分布直方图的形状关系如下：当样本容量越大，组距越小时，频率分布直方图的形状越接近总体的正态曲线，故A，B不正确.在总体的正态曲线中，阴影部分的面积代表总体在(a，b)内取值的百分比，故选C.

5.答案为：C；

解析：∵ξ～B(2，p)，P(ξ≥1)=，∴P(ξ≥1)=1－P(ξ＜1)=1－Cp0(1－p)2=，

∴p=，∴P(η≥2)=1－P(η=0)－P(η=1)=1－C×()0×()3－C×()1×()2

=1－－=，故选C.

6.答案为：B；

解析：设学生的身高为随机变量ξ，则P(155＜ξ＜175)

=P(165－5×2＜ξ＜165＋5×2)=P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)=0.955.

因此适合身高在155～175 cm范围内学生的校服大约要定制1 000×0.955=955(套).故选B.

7.答案为：D；

解析：∵X～N(100，σ2)，∴其正态曲线关于直线X=100对称，

又成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，由对称性知成绩不低于120分的学生

人数约为总人数的×(1- )=，

∴此次考试成绩不低于120分的学生人数约为×1 600=200.故选D.

8.答案为：B；

解析：根据题意得，P(ξ=k)=C()k(1- )5－k，k=0,1,2,3,4,5，

则P(ξ=0)=C()0×()5=，P(ξ=1)=C()1×()4=，P(ξ=2)=C()2×()3=，

P(ξ=3)=C()3×()2=，P(ξ=4)=C()4×()1=，P(ξ=5)=C()5×()0=，

故当k=4时，P(ξ=k)最大.

9.答案为：；

解析：由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，

所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C3·2=C5=C5=.

10.答案为：8186.

解析：由题意知μ=100，σ=2，则P(98<X<104)=[P(μ－σ<X<μ＋σ)＋P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]≈0.818 6，所以质量在[98,104]内的产品估计有10 000×0.818 6=8 186件.

11.答案为：0.8.

解析：由正态分布N(1，σ2)(σ＞0)的图象关于直线x=1对称，且ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，知ξ在(1,2)内取值的概率也为0.4，故ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.

12.答案为：0.2.

解析：随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，∴正态曲线关于x=1对称，

∴P(X≥2)=P(X≤0)=1－P(X＞0)=0.2.

13.解：(1)根据茎叶图可知，甲的平均成绩

甲==89.4，

乙的平均成绩

乙==89，

甲的平均成绩略大于乙的平均成绩.

又甲的成绩的方差s=[(79－89.4)2＋(85－89.4)2＋(86－89.4)2＋(88－89.4)2

＋(88－89.4)2＋(88－89.4)2＋(94－89.4)2＋(95－89.4)2＋(95－89.4)2

＋(96－89.4)2]=27.24，

乙的成绩的方差s=[(74－89)2＋(78－89)2＋(85－89)2＋(86－89)2＋(88－89)2

＋(92－89)2＋(93－89)2＋(97－89)2＋(98－89)2＋(99－89)2]=64.2，

故甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，

因此选派甲参赛更合适.

(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==.

随机变量X的分布列为

数学期望E(X)=0×＋1×＋2×=.

14.解：(1)由频率分布表可得，

解得

补全的频率分布直方图如下：

(2)估计参加考试的这50名教师的笔试成绩的平均数为

(55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01)×10=74.

(3)由(1)可知，第三、四、五组的教师的人数分别为15,10,5.

随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2.

P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==.

所以ξ的分布列为

所以E(ξ)=0×＋1×＋2×=.

15.解：(1)由频率估计概率，

产品为正品的概率为(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10=0.67，

所以随机变量ξ的分布列为

所以E(ξ)=90×0.67＋(－30)×0.33=50.4.

(2)由频率分布直方图知，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为

=70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02=100，

s2=(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02=150.

①因为Z～N(100,150)，

从而P(87.8＜Z＜112.2)=P(100－12.2＜Z＜100＋12.2)=0.682 7.

②由①知，一件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的概率为0.682 7，

依题意知X～B(500,0.682 7)，

所以E(X)=500×0.682 7=341.35.