2022年高考数学一轮复习考点练习50《坐标系》(含答案详解)

一轮复习考点练习50《坐标系》

1.在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin =－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.

2.在极坐标系中，求直线ρ(cos θ－sin θ)=2与圆ρ=4sin θ的交点的极坐标.

3.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos(θ- )=1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.

(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；

(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程.

4.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.

(1)求出圆C的直角坐标方程；

(2)已知圆C与x轴交于A，B两点，直线l：y=2x关于点M(0，m)(m≠0)对称的直线为l′，若直线l′上存在点P使得∠APB=90°，求实数m的最大值.

5.圆心C的极坐标为（2，），且圆C经过极点.

(1)求圆C的极坐标方程.

(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程.

6.在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=－2cos θ，ρcos(θ+ )=1.

(1)求曲线C1和C2的公共点的个数.

(2)过极点O作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|=2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形.

7.已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π).

8.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(x－1)2＋y2=1，曲线C2的参数方程为：

(θ为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求C1，C2的极坐标方程；

(2)射线y=x(x≥0)与C1异于原点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|.

0.答案解析

1.解：在ρsin =－中，令θ=0，得ρ=1，

所以圆C的圆心坐标为(1,0).

因为圆C经过点P，

所以圆C的半径PC==1，

于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.

2.解：ρ(cos θ－sin θ)=2化为直角坐标方程为x－y=2，

即y=x－2.ρ=4sin θ可化为x2＋y2=4y，

把y=x－2代入x2＋y2=4y，

得4x2－8x＋12=0，即x2－2x＋3=0，

所以x=，y=1.

所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.

3.解：(1)∵ρcos(θ- )=1，

∴ρcos θ·cos＋ρsin θ·sin=1.∴x＋y=1.

即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2=0.

令y=0，则x=2；令x=0，则y=.

∴M(2,0)，N(0,).

∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为（，）.

(2)∵M，N连线的中点P的直角坐标为（1，），

∴P的极角为θ=.

∴直线OP的极坐标方程为θ=(ρ∈R).

4.解：(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ，

故x2＋y2－4x=0，

即圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2=4.

(2)l：y=2x关于点M(0，m)的对称直线l′的方程为y=2x＋2m，

易知AB为圆C的直径，

故直线l′上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是直线l′与圆C有公共点，

故≤2，于是，实数m的最大值为－2.

5.解：(1)圆心C的直角坐标为(，)，

则设圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2=r2，

依题意可知r2=(0－)2＋(0－)2=4，

故圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2=4，

化为极坐标方程为ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)=0，

即ρ=2(sin θ＋cos θ).

(2)在圆C的直角坐标方程x2＋y2－2(x＋y)=0中，

令y=0，得x2－2x=0，解得x=0或2，

于是得到圆C与x轴的交点坐标(0,0)，(2，0)，

由于直线过圆心C(，)和点(2，0)，

则该直线的直角坐标方程为y－0=(x－2)，

即x＋y－2=0.化为极坐标方程得ρcos θ＋ρsin θ－2=0.

6.解：(1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2=1，

它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C2的直角坐标方程为x－y－2=0，

所以曲线C2为直线，

由于圆心到直线的距离为d=＞1，

所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点.

(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，

则即①

因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，所以ρ0cos(θ0+ )=1，②

将①代入②，得cos(θ+ )=1，

即ρ=2cos(θ+ )为点P的轨迹方程，

化为直角坐标方程为（x- ）2＋（y+ ）2=1，

因此点P的轨迹是以（，- ）为圆心，1为半径的圆.

7.解：(1)将，

消去参数t，化为普通方程为(x－4)2＋(y－5)2=25，

即C1：x2＋y2－8x－10y＋16=0.

将，代入x2＋y2－8x－10y＋16=0得

ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16=0.

所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16=0.

(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y=0.

由

解得，或

所以C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）.

8.解：(1)将代入曲线C1的方程：(x－1)2＋y2=1，

可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，

曲线C2的普通方程为＋y2=1，

将代入，

得到C2的极坐标方程为ρ2(1＋sin2θ)=2.

(2)射线的极坐标方程为θ=(ρ≥0)，与曲线C1的交点的极径为ρ1=2cos=，

射线θ=(ρ≥0)与曲线C2的交点的极径满足ρ=2，

解得ρ2=，所以|AB|=|ρ1－ρ2|=－.