2022年高考数学一轮复习考点练习51《参数方程》(含答案详解)

一轮复习考点练习51《参数方程》

1.已知曲线C1的参数方程为曲线C2的极坐标方程为：

ρ=2cos (θ－)，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.

(1)求曲线C2的直角坐标方程；

(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.

2.在平面直角坐标系xOy中，C1：(t为参数)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33=0.

(1)求C1的普通方程及C2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(2)若P，Q分别为C1，C2上的动点，且|PQ|的最小值为2，求k的值.

3.已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t=α与t=2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点.

(1)求M的轨迹的参数方程；

(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.

4.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ，θ∈[0,].

(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标.

5.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程为ρ=asin θ，直线l的参数方程为(t为参数).

(1)若a=2，M是直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求|MN|的最小值；

(2)若直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值.

6.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l1的方程为kx－y＋k=0，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2的极坐标方程为cos θ－2sin θ=.

(1)写出曲线C的普通方程和直线l2的直角坐标方程；

(2)若l1与C交于不同的两点M，N，MN的中点为P，l1与l2的交点为Q，l1恒过点A，

求|AP|·|AQ|.

7.在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0，其中0≤α＜π).

在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ.

(1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.

8.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，

在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为

ρcos(θ+)=－1.

(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P是圆C上任一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值.

0.答案解析

1.解：(1)ρ=2cos =2(cos θ＋sin θ)，

即ρ2=2(ρcos θ＋ρsin θ)，

可得x2＋y2－2x－2y=0，

故C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2=2.

(2)C1的普通方程为x＋y＋2=0，由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心，

以为半径的圆，且圆心到直线C1的距离d==，

所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.

2.解：(1)由可得其普通方程为y=k(x－1)，

它表示过定点(1,0)，斜率为k的直线.

由ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33=0可得其直角坐标方程为x2＋y2＋10x－6y＋33=0，

整理得(x＋5)2＋(y－3)2=1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆.

(2)因为圆心(－5,3)到直线y=k(x－1)的距离d==，

故|PQ|的最小值为－1，

故－1=2，得3k2＋4k=0，解得k=0或k=－.

3.解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，

因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α).

M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π).

(2)点M到坐标原点的距离d==(0＜α＜2π).

当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点.

4.解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2=1(0≤y≤1).

可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π).

(2)设D(1＋cos t，sin t).

由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆.

因为C在点D处的切线与l垂直，

所以直线GD与l的斜率相同，tan t=，t=.

故D的坐标为，即.

5.解：(1)当a=2时，圆C的极坐标方程为ρ=2sin θ，

可化为ρ2=2ρsin θ，

化为直角坐标方程为x2＋y2－2y=0，即x2＋(y－1)2=1.

直线l的普通方程为4x＋3y－8=0，与x轴的交点M的坐标为(2,0)，

∵圆心(0,1)与点M(2,0)间的距离为，

∴|MN|的最小值为－1.

(2)ρ=asin θ可化为ρ2=aρsin θ，

∴圆C的直角坐标方程为x2＋2=.

∵直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，

∴圆心到直线l的距离为圆C半径的一半，

∴=×，解得a=32或a=.

6.解：(1)由曲线C的参数方程消去参数，

得曲线C的普通方程为(x＋3)2＋(y－4)2=16，

由cos θ－2sin θ=，得ρcos θ－2ρsin θ=4，

将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入，

得直线l2的直角坐标方程为x－2y－4=0.

(2)设M，N，Q所对应的参数分别为t1，t2，t3，

由题意得直线l1恒过点A(－1,0)，

故l1的参数方程为(t为参数)，

代入曲线C的普通方程得t2＋4t(cos α－2sin α)＋4=0，

则t1＋t2=4(2sin α－cos α)，

将代入x－2y－4=0，

整理得t3=，

则|AP|·|AQ|=·|t3|=2|2sin α－cos α|·=10.

7.解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y=0，

曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x=0.

联立

解得或

所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.

(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.

因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α).

所以|AB|=|2sin α－2cos α|=4|sin(α-)|.

当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4.

8.解：(1)由消去参数t，得

(x＋5)2＋(y－3)2=2，

所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2=2.

由ρcos(θ+)=－1，得ρcos θ－ρsin θ=－2，

所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2=0.

(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2,0)，B(0,2)，

化为极坐标为A(2，π)，B(2,)，

设P点的坐标为(－5＋cos t,3＋sin t)，则P点到直线l的距离d==，

所以dmin==2，又|AB|=2，

所以△PAB面积的最小值为×2×2=4.