北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试单元测试同步测试题

这是一份北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试单元测试同步测试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共9小题；共45分）
1. 在 Rt△ABC 中，斜边 BC=2，则 AB2+AC2 的值为
A. 8B. 4C. 6D. 无法计算

2. 如图，将一个边长分别为 4，8 的长方形纸片 ABCD 折叠，使 C 点与 A 点重合，则 EB 的长是
A. 3B. 4C. 5D. 6

3. 小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为 58 cm，宽为 46 cm，则这台电视机的尺寸（屏幕的对角线长度为电视机的尺寸）最有可能是
A. 9 英寸 23 cmB. 21 英寸 54 cm
C. 29 英寸 74 cmD. 34 英寸 87 cm

4. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是
A. 1，1，2B. 2，3，4C. 2，2，2D. 2，3，7

5. 迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会．小刘搬来一架高 2.5 米长的木梯架到墙上，木梯最顶端距地面高 2.4 米，则梯脚与墙角距离应为
A. 0.7 米B. 0.8 米C. 0.9 米D. 1.0 米

6. 如果三角形的三边长分别为 a2+b2，2ab，a2-b2（a，b 都是正整数，且 a>b），那么这个三角形是
A. 直角三角形B. 钝角三角形
C. 锐角三角形D. 不能确定类型的三角形

7. 在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开双门（AD 和 BC），门边缘 D，C 两点到门槛 AB 的距离为 1 尺（1 尺 =10 寸），双门间的缝隙 CD 为 2 寸，那么门的宽度（两扇门的和）AB 为（1 寸 ≈3.3 厘米）
A. 100 寸B. 101 存C. 102 寸D. 103 寸

8. 若直角三角形的两边长分别为 a，b，且满足 a2-6a+9+b-4=0，则该直角三角形的第三边长的平方为
A. 25B. 7C. 25 或 7D. 25 或 16

9. 如图，小明（视为小黑点）站在一个高为 10 米的高台 A 上，利用旗杆 OM 顶部的绳索，划过 90∘ 到达与高台 A 水平距离为 17 米，高为 3 米的矮台 B．那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度 MN 是
A. 2 米B. 2.2 米C. 2.5 米D. 2.7 米
二、填空题（共7小题；共35分）
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘ .
（1）若 a=3，b=4，则 c= ；
（2）若 a=6，c=10，则 b= ；
（3）若 a=5，b=12，则 c= ．

11. 如图所示为一块农家菜地的平面图，其中 AD=4 cm，CD=3 cm，AB=13 cm，BC=12 cm，∠ADC=90∘，则这块菜地的面积为 cm2．

12. 如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 所在直线折叠，点 C 落在同一平面内，落点记为 Cʹ，BCʹ 与 AD 交于点 E，若 AB=3，BC=4，则 DE 的长为 ．

13. 一艘轮船以 16 km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以 12 km/h 的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 km．

14. 如图，长方体的底面边长分别为 2 cm 和 4 cm ，高为 5 cm ，若一只蚂蚁从 P 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm .

15. 如图 1，将 △ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，B，C 均落在格点上．
（Ⅰ）线段 AB 的长为 ；
（Ⅱ）点 P 是线段 AC 上的动点．当 AP+5PB 最短时，请你在图 2 所示的网格中，用无刻度的直尺画出点 P 的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明） ．

16. 如图，Rt△ABC 纸片中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，点 D 在边 BC 上，以 AD 为折痕将 △ABD 折叠得到 △ABʹD，ABʹ 与边 BC 交于点 E．若 △DEBʹ 为直角三角形，则 BD 的长是 ．
三、解答题（共5小题；共70分）
17. 已知 △ABC 中，BC=41，AC=40，AB=9，试确定这个三角形的形状，并求出它的最大内角的度数．

18. 如图，在 △ABC 中，AB=13，BC=14，AC=15，求 BC 边上的高 AD．

19. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1 丈 =10 尺）
大意是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽 AB=10 尺，线段 CD，CB 表示芦苇，CD⊥AB 于点 E．
（1）图中 DE= 尺，EB= 尺；
（2）求水的深度与这根芦苇的长度．

20. 在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，D，E 分别是斜边 AB 和直角边 CB 上的点，把 △ABC 沿着直线 DE 折叠，顶点 B 的对应点是 Bʹ．
（1）如图（1），如果点 Bʹ 和顶点 A 重合，求 CE 的长；
（2）如图（2），如果点 Bʹ 落在 AC 的中点上，求 CE 的长．

21. 如图，某工厂 C 前面有一条笔直的公路 AB，原来有两条路 AC，BC 可以从工厂 C 到达公路，经测量 AC=600 m，BC=800 m，AB=1000 m，现需要修建一条路，使工厂 C 到公路的距离最短，请你帮工厂 C 的负责人设计一种方案，并求出新建的路的长．
答案
1. B
2. A
3. C
4. D
5. A
6. A
7. B【解析】设 OA=OB=AD=BC=r 寸，
如图，过 D 作 DE⊥AB 于点 E，
则 DE=10 寸，OE=12CD=1 寸，AE=r-1 寸，
在 Rt△ADE 中，AE2+DE2=AD2，即 r-12+102=r2，解得 2r=101．
故门的宽度（两扇门的和）AB 为 101 寸．
8. C【解析】因为 a2-6a+9+b-4=0，
所以 a-32=0，b-4=0，
所以 a=3，b=4，
所以直角三角形的第三边长的平方为 32+42=25 或 42-32=7，
所以直角三角形的第三边长的平方为 25 或 7．
9. A【解析】作 AE⊥OM 于 E，BF⊥OM 于 F，如图所示：
则 ∠OEA=∠BFO=90∘，
因为 ∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90∘，
所以 ∠AOE=∠OBF．
在 △AOE 和 △OBF 中，∠OEA=∠BFO,∠AOE=∠OBF,OA=OB,
所以 △AOE≌△OBFAAS，
所以 OE=BF，AE=OF，
所以 OE+OF=AE+BF=CD=17（米），
因为 EF=EM-FM=AC-BD=10-3=7（米），
因为 OE+OF=2EO+EF=17 米，
所以 2OE=17-7=10（米），
所以 BF=OE=5 米，OF=12 米，
所以 CM=CD-DM=CD-BF=17-5=12（米），
OM=OF+FM=12+3=15（米），
由勾股定理得：ON=OA=AE2+OE2=122+52=13（米），
所以 MN=OM-OF=15-13=2（米）．
10. 5，8，13
11. 24
12. 258
13. 10
【解析】作出图形．
∵ 东北和东南的夹角为 90∘，
∴△ABC 为直角三角形，
在 Rt△ABC 中，AC=16×0.5 km=8 km，
BC=12×0.5 km=6 km，
则 AB=62+82 km=10 km．
14. 13
【解析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的做法就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.
如图
∵PA=2×4+2=12cm，QA=5 cm，∠A=90∘ ，
∴PQ=PA2+QA2=13 cm
15. 17，画法：取格点 D 并连接 AD 交网格于点 E，连接 BE 交 AC 于点 P，点 P 即为所求．
16. 2 或 5
【解析】因为 Rt△ABC 纸片中，
∠C=90∘，AC=6，BC=8，
所以 AB=10，
因为以 AD 为折痕将 △ABD 折叠得到 △ABʹD，
所以 BD=DBʹ，ABʹ=AB=10．
如图1所示：当 ∠BʹDE=90∘ 时，过点 Bʹ 作 BʹF⊥AF，垂足为点 F．
设 BD=DBʹ=x，则 AF=6+x，FBʹ=8-x．
在 Rt△AFBʹ 中，
由勾股定理得：ABʹ2=AF2+FBʹ2，即 6+x2+8-x2=102．
解得：x1=2，x2=0（舍去）．
所以 BD=2．
如图2所示：当 ∠BʹED=90∘ 时，点 C 与点 E 重合．
因为 ABʹ=10，AC=6，
所以 BʹE=4．
设 BD=DBʹ=x，则 CD=8-x．
在 Rt△BʹDE 中，
DBʹ2=DE2+BʹE2，即 x2=8-x2+42．
解得：x=5．
所以 BD=5．
综上所述，BD 的长为 2 或 5．
17. △ABC 是直角三角形，最大内角度数是 90∘．
18. 12．
19. （1） 1；5
【解析】根据题意：DE 是芦苇高出水面部分，即 DE=1 尺，EB 是水面边长一半，即：EB=5 尺，
故答案是：1，5．
（2） 设芦苇长 x 尺，则水的深度为 x-1 尺，
根据题意得：x-12+52=x2，
解得：x=13，
13-1=12（尺），
答：芦苇长 13 尺，则水的深度为 12 尺．
20. （1） 如图（1），
设 CE=x，则 BE=8-x，
由题意得：AE=BE=8-x，
由勾股定理得：x2+62=8-x2，
解得：x=74，
即 CE 的长为：74．
（2） 如图（2），
∵ 点 Bʹ 落在 AC 的中点，
∴CBʹ=12AC=3，
设 CE=x，类比（1）中的解法，可列出方程：x2+32=8-x2，
解得：x=5516．
即 CE 的长为：5516．
21. 过点 C 作公路 AB 的垂线，垂足为 D，则线段 CD 即为新修的路．
∵6002+8002=10002，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC 为直角三角形，
由三角形的面积公式知 12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴12×1000⋅CD=12×600×800，
∴CD=480 m，即新建的路的长为 480 m．