高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质第2课时学案

3.2.2 奇偶性

第2课时  奇偶性的应用

【学习目标】

【自主学习】

奇偶性与单调性

一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有     的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有     的单调性．

【经典例题】

题型一　利用奇偶性求解析式

1.已知区间[a，b]上的解析式，求[－b，－a]上的解析式：

(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．

(2)要利用已知区间的解析式进行代入．

(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．

注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数,未必有f(0)＝0.

例1 已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x，求当x<0时，f(x)的解析式．

【跟踪训练】1 已知y＝f(x)是定义在 R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2，求y＝f(x)的解析式．

2.已知一奇一偶两函数之和，求这两个函数的解析式

已知一奇一偶两函数之和，对x赋值，令x＝－x.f(x)，g(x)一奇一偶，才能把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．

例2    设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．

【跟踪训练】2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．

题型二　利用奇偶性和单调性比较大小

例3 设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是                    ．

【跟踪训练】3 若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f 的大小关系是(　　)

A．f  > f       B．f  < f

C．f  ≥ f       D．f  ≤ f

题型三 函数的奇偶性和单调性解不等式

点拨：1.充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．

2.在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．

例4 已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围。

【跟踪训练】4 定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．

【当堂达标】

1.（多选）若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[－3，－1]上(　　)

A．是减函数    B．是增函数   C．有最大值0     D．有最小值0

2.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　)

A.         B.         C.         D.

3.已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．

4.已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝x2－x＋2，求f(x)，g(x)的解析式．

5.已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a－10)＋f(4－2a)<0，求a的取值范围．

6.函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.

(1)确定函数f(x)的解析式；

(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；

(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.

【课堂小结】

一．题型：

1.利用奇偶性，求函数的解析式；

2.利用奇偶性和单调性比较大小；

3.利用奇偶性和单调性比较大小解不等式．

二．具有奇偶性的函数的单调性的特点：

1.奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．

2.偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．

三．数学思想：数形结合

利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养．

【参考答案】

【自主学习】

相同 相反

【经典例题】

例1 解： 设x<0，则－x>0.

∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x.

又∵f(x)是定义域为R的偶函数，

∴f(－x)＝f(x)＝x2－x，∴当x<0时，f(x)＝x2－x.

【跟踪训练】1 解：设x<0，则－x>0，因为f(x)是奇函数，所以当x<0时，

f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.

因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.所以f(x)＝

例2 解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，

由f(x)＋g(x)＝.① 用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝，∴f(x)－g(x)＝，②

(①＋②)÷2，得f(x)＝；

(①－②)÷2，得g(x)＝.

【跟踪训练】2 解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，

由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①  用－x代替x，

得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②

(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；

(①－②)÷2，得g(x)＝2x.

例3  f(－π)>f(3)>f(－2) 解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，

又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2).

【跟踪训练】3  C 解析：因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f ＝f  ≥ f .

例4 解：(1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．

∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)<f(a－1)．

又f(x)在[－1,1]上单调递减，

∴解得∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1)．

【跟踪训练】4 解：∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．

∴原不等式等价于解得－1≤m<.∴实数m的取值范围是.

【当堂达标】

1.BC 解析：由于奇函数的图象关于原点成中心对称，故奇函数的图象在对称区间上具有相同的单调性，且一侧的最小值对应另一侧的最大值，故选BC.

2.A解析：∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．则f(|2x－1|)<f.又∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，

∴|2x－1|<，解得<x<.

3.解：设x<0，则－x>0，

∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1.

又∵f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．

∴－f(x)＝－x3－x＋1，即f(x)＝x3＋x－1.

∴x<0时，f(x)＝x3＋x－1.

又f(x)是奇函数，且在x＝0处有意义，则f(0)＝0.

∴f(x)＝

4.解: ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，

又∵f(x)＋g(x)＝x2－x＋2，①∴f(－x)＋g(－x)＝x2＋x＋2，

即－f(x)＋g(x)＝x2＋x＋2②  由①、②得g(x)＝x2＋2，f(x)＝－x.

5.解：∵f(3a－10)＋f(4－2a)<0，

∴f(3a－10)<－f(4－2a)，

∵f(x)为奇函数，∴－f(4－2a)＝f(2a－4)，

∴f(3a－10)<f(2a－4)．

又f(x)在R上是减函数，∴3a－10>2a－4，∴a>6.

故a的取值范围为(6，＋∞)．

6.(1)解　∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝.

∴b＝－b，∴b＝0.∵f＝，∴＝，∴a＝1.∴函数解析式为f(x)＝ (－1<x<1)．

(2)证明　任取x1，x2∈(－1,1)，且x1<x2，

f(x1)－f(x2)＝－＝，

∵－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0,1－x1x2>0，(1＋x)(1＋x)>0，

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴f(x)为(－1,1)上为增函数．

(3)解　∵f(t－1)＋f(t)<0，∴f(t－1)<－f(t)．

∵f(x)是(－1,1)上的奇函数，∴f(－t)＝－f(t)，∴f(t－1)<f(－t)．

∵f(x)为(－1,1)上的增函数，∴　解得0<t<.

∴不等式的解集为.