高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第1课时学案

4.2  第1课时  指数函数概念图象及性质

【学习目标】

【自主学习】

一．指数函数的定义

一般地，函数       (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

特别提醒：

(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：

①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值.因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.

(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数.②指数函数的自变量必须位于指数的位置上.③ax的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数.

二．指数函数的图象和性质

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：

【小试牛刀】

思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）y＝xx(x>0)是指数函数.(　 　)

（2）y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数.(　 　)

（3）因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝ax恒过点(0,1).(　 　)

（4）y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.(　 　)

【经典例题】

题型一　指数函数的概念

点拨：判断一个函数是指数函数的方法

(1)形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征.

(2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要一个特征不具备,则该函数不是指数函数.

例1　下列函数中是指数函数的是________.(填序号)

①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝x；④y＝ ；⑤y＝ .

【跟踪训练】1 （1）函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则m＝________.

（2）若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝(　　)

A.()x        B.2x       C.       D.

题型二　指数型函数图象

点拨：(1)指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.

(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).

(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.

例2  函数f(x)＝ax＋1－2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.

【跟踪训练】2  (1)已知函数f(x)＝4＋ax＋1(a>0，且a≠1)的图象经过定点P，则点P的坐标是(　　)

A.(－1,5)     B.(－1,4)      C.(0,4)      D.(4,0)

(2)函数y＝2|x|的图象是(　　)

题型三　指数型函数的定义域、值域

点拨：指数型函数y＝af(x)的定义域、值域的求法

(1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同.

(2)值域：①换元，t＝f(x).  ②求t＝f(x)的定义域为x∈D.

③求t＝f(x)的值域为t∈M.  ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域.

例3　(1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)

A.(－3，0]  B.(－3，1]

C.(－∞，－3)∪(－3，0]  D.(－∞，－3)∪(－3，1]

（2）当x∈[－2，2)时，y＝3－x－1的值域是(　　)

A.     B.        C.      D.

【跟踪训练】3 求函数y＝4x－2x＋1的定义域、值域.

【当堂达标】

1.给出下列函数：

①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　)

A.0          B.1      C.2  D.4

2.(多选)若函数（，且）是指数函数，则下列说法正确的是（    ）

A．    B．    C．    D． 

3.已知函数f(x)＝2x，则f(1－x)的图象为(　　)

4.函数f(x)＝2·ax－1＋1的图象恒过定点________.

5.函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为________. 

6.求函数y＝x2－2x－3.的定义域、值域。

【参考答案】

【自主学习】

1.y＝ax    

2.(0,1)   0  y>1  0<y<1  0<y<1  y>1  增函数 减函数

【小试牛刀】

×  ×  √  ×

【经典例题】

例1 ③ 解析： ①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中指数不是x，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数，故填③.

【跟踪训练】1  (1) 0或1解析：∵函数f(x)＝(m2－m＋1)ax是指数函数，∴m2－m＋1＝1，解得m＝0或1.

(2) A 解析：由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，得a＝，所以f(x)＝()x.

例2  (－1，－1) 解析：令x＋1＝0，则x＝－1，f(－1)＝a0－2＝－1，则f(x)的图象恒过点(－1，－1).

【跟踪训练】2  (1)A解析：当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5).

(2) B  解析： y＝2|x|＝故选B.

例3 (1) A 解析：由题意得自变量x应满足解得－3<x≤0.

(2) A 解析：y＝3－x－1，x∈[－2，2)是减函数，∴3－2－1<y≤32－1，即－<y≤8.

【跟踪训练】3 解：函数的定义域为R，y＝(2x)2－2x＋1＝2＋，

∵2x>0，∴当2x＝，即x＝－1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，

∴值域为.

【当堂达标】

1.B 解析：①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底数－2＜0，不是指数函数.

2.AC 解析：因为函数是指数函数，所以，所以，所以，所以，，故B、D错误，A、C正确.

3.B 解析：f(1－x)＝21－x＝是减函数，故排除选项C，D，又当x＝0时，＝2，排除A，故选B.

4. (1，3) 解析：令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(x)的图象恒过定点(1，3).

5. (1，＋∞) 解析：函数的定义域为R，又y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，易知2x>0，故y>1，即函数的值域为(1，＋∞).

6.解：定义域为R.

∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴x2－2x－3≤－4＝16.

又∵x2－2x－3>0，∴函数y＝x2－2x－3的值域为(0,16]．