专题1.2 命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件 2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）（讲）

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）

第一章 集合与常用逻辑用语

专题1.2 命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件（讲）

【考试要求】

1．理解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系.

2．了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义.

3．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.

【高考预测】

命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定．从近5年命题看，其在试卷中选择题的位置基本稳定在前5 、6小题.

【知识与素养】

知识点1．命题及其关系

（1）命题的概念

在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

（2）四种命题及相互关系

（3）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

【典例1】设是方程的两个不等实根，记.下列两个命题：

①数列的任意一项都是正整数；

②数列第5项为10.                                              (  )

A．①正确，②错误    B．①错误，②正确

C．①②都正确    D．①②都错误

【答案】A

【解析】

因为是方程的两个不等实根，所以1，，

因为，

所以，即当时，数列中的任一项都等于其前两项之和，

又1，，所以，，，以此类推，即可知：数列的任意一项都是正整数，故①正确；②错误；因此选A.

【规律方法】

1.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．

2. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．

知识点2．逻辑联结词

（1）用联结词“且”联结命题p和命题q，记作____，读作______”．

（2）用联结词“或”联结命题p和命题q，记作_____，读作“____”．

（3）对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作_____，读作“_____”．

（4）命题p且q、p或q、非p的真假判断

【典例2】（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是__________.

①②③④

【答案】①③④

【解析】

利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.

【详解】

对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；

若与相交，则交点在平面内，

同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；

对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，

命题为假命题；

对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，

命题为假命题；

对于命题，若直线平面，

则垂直于平面内所有直线，

直线平面，直线直线，

命题为真命题.

综上可知，，为真命题，，为假命题，

为真命题，为假命题，

为真命题，为真命题.

故答案为：①③④.

【重点总结】

1．逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．

2．“pq”“pq”“p”形式命题真假的判断步骤：

（1）确定命题的构成形式；

（2）判断其中命题p、q的真假；

（3）确定“pq”“pq”“p”形式命题的真假．

3．含逻辑联结词命题真假的等价关系

（1）pq真⇔p,q至少一个真⇔(p)(q)假.

（2）pq假⇔p,q均假⇔(p)(q)真.

（3）pq真⇔p,q均真⇔(p)(q)假.

（4）pq假⇔p,q至少一个假⇔(p)(q)真.

（5）p真⇔p假; p假⇔p真.

4．命题p且q、p或q、非p的真假判断规律：pq中p、q有一假为假，pq有一真为真，p与非p必定是一真一假．

知识点3．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．

【典例3】（2020·天津高考真题）设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.

【详解】

求解二次不等式可得：或，

据此可知：是的充分不必要条件.

故选：A.

【规律方法】

充要关系的几种判断方法

(1)定义法：若 ，则是的充分而不必要条件；若  ，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件； 若 ，则是的既不充分也不必要条件.

(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件

【重点难点突破】

考点1  四种命题的关系及真假判断

例1.以下命题为假命题的是(　　)

A．“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆命题

B．“面积相等的三角形全等”的否命题

C．“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题

D．“若A∪B＝B，则A⊆B”的逆否命题

【答案】A

【解析】

A．“若m＞0，则方程x2+x-m=0有实数根”的逆命题是“若方程x2+x-m=0有实数根，则m＞0”，
由判别式△=1+4m≥0得 ，故A是假命题，
B．“面积相等的三角形全等”的逆命题是“全等的三角形面积相等”为真命题，根据逆命题和否命题为逆否命题，则命题“面积相等的三角形全等”的否命题是真命题，
C．“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy=1”为真命题．
D．“若A∪B=B，则A⊆B”为真命题，则“若A∪B=B，则A⊆B”的逆否命题为真命题．，
故选：A．

【规律方法】

1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：

（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；

（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；

（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题.

【变式探究】

在下列四个命题中,其中真命题是(  )

①“若,则”的逆命题;

②“若,则”的否命题;

③“若,则方程有实根”的逆否命题;

④“等边三角形的三个内角均为”的逆命题.

A．①②    B．①②③④    C．②③④    D．①③④

【答案】B

【解析】

逐一考查所给命题的真假：

①“若,则”的逆命题为“若，则”该命题为真命题;

②“若,则”的否命题为“若,则不垂直”，

由可得：，据此可知：不垂直”，该命题为真命题;

③若,则方程的判别式，方程有实根为真命题，则其逆否命题为真命题;

④“等边三角形的三个内角均为”的逆命题为“三个内角均为的三角形为等边三角形”，该命题为真命题;

综上可得：真命题是①②③④.

本题选择B选项.

考点2  含有逻辑联结词的命题

例2.（山东卷真题）已知命题p：;命题q：若,则a<b.下列命题为真命题的是（   ）

A．        B.         C.        D.

【答案】B

【解析】

由时成立知p是真命题,由可知q是假命题,所以是真命题,故选B.

【总结提升】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.

【变式探究】

（山东省春季招生）设命题，命题，则下列命题中为真命题的是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

因为命题为真，命题为真，所以为真，  、为假，

选A.

考点三  充要条件的判定

例3.（2020·天津高考真题）设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.

【详解】

求解二次不等式可得：或，

据此可知：是的充分不必要条件.

故选：A.

例4.（2020·浙江高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.

【详解】

依题意是空间不过同一点的三条直线，

当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.

当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.

综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.

故选：B

例5．（2021·浙江高三月考）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分不必要条件是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

找的一个充分不必要条件：即由选项能够推出，而由不能推出选项.

【详解】

对于C：，又，所以，即.

显然，反过来不正确.

故选：C.

【规律方法】

充要关系的几种判断方法

(1)定义法：若 ，则是的充分而不必要条件；若  ，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件； 若 ，则是的既不充分也不必要条件.

(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件

【变式探究】

1.（2021·浙江高三其他模拟）条件p：是条件q：的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】

分别解不等式化简命题，利用充分不必要条件的定义求解即可．

【详解】

p：由，解得：，

q：由，解得：或，

由，而q推不出p，

是q的充分不必要条件，

故选：A.

2.（2021·浙江高三专题练习）“”是“函数在上为增函数”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

先求出在上为增函数对应的的范围，根据集合包含关系即可得出.

【详解】

由可得，

若在上为增函数，则在恒成立，

即在恒成立，则，

，

则可得“”是“函数在上为增函数”的充分而不必要条件.

故选：A.

3．（2021·江西赣州市·高三二模（理））等比数列中，，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

由题设，令公比为，分别确定、时的取值范围，即可判断它们的充分、必要关系.

【详解】

等比数列中，令公比为，

∴若，则有；若，则有或，

∴“”是“”的充分不必要条件.

故选：B

考点四：充分条件与必要条件的应用

例6. （2021·浙江高一期末）已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________．

【答案】

【解析】

利用集合法，将是的必要不充分条件转化为两集合间真包含关系，列出关于的不等式组，解不等式组即可得到答案．

【详解】

解：，，且是的必要不充分条件，

所以是的真子集，

所以或，解得，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

例7.设：实数满足，：实数满足．

（Ⅰ）当时，若为真，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，若是的必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（Ⅰ）当时，：，：或.

因为为真，所以，中至少有一个真命题.

所以或或，

所以或，

所以实数的取值范围是.

（Ⅱ）当时，：，

由得：：或，

所以：，

因为是的必要条件，

所以，

所以，解得，

所以实数的取值范围是.

【规律方法】

1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面

(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；

(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；

(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．

【变式探究】

1.使a>0，b>0成立的一个必要不充分条件是(　　)

A．a＋b>0  B．a－b>0

C．ab>1   D. >1

【答案】A

【解析】因为a>0，b>0⇒a＋b>0，反之不成立，而由a>0，b>0不能推出a－b>0，ab>1，>1，故选A.

2.若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是________．

【答案】

【解析】

因为“”是“”的必要不充分条件，

所以是的真子集，所以，

故答案为.

【特别警示】

根据充要条件求解参数范围的方法及注意点

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．

(2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．

【学科素养提升】

转化与化归思想

转化与化归思想是指在对问题做细致观察的基础上，展开丰富的联想，把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题，借助旧知识、旧经验来处理新问题的一种重要的思想方法。转化与化归思想在本节中的应用主要是:(1)判断命题真假:原命题和其逆否命题同真同假,原命题的逆命题和原命题的否命题同真同假；（2）充要条件和集合的包含关系间的等价转化等

【典例】已知函数f(x)＝3x－3－x，∀a，b∈R，则“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】因为f(x)＝3x－3－x，所以函数f(x)＝3x－3－x为(－∞，＋∞)上的单调递增函数，从而由“a＞b”可得“f(a)＞f(b)”，由“f(a)＞f(b)”可得“a＞b”，即“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的充分必要条件，故选C.