专题2.10《函数》单元测试卷 2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）

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2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）专题2.10 《函数》单元测试卷时间：120分钟        满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）函数的定义域是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据题意列不等式组，化简得出结论.【详解】由题意得解得或.所以原函数的定义域为.故选：C.2. （2021·云南丽江市·高一期末）定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可.【详解】义在R上的偶函数在上单调递增，且，所以在上单调递减，且，或，故或，故选：C3．（2021·河北衡水中学高三三模）己知，，，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据指对幂不等式，结合指对幂函数的性质分别求参数a的范围，再取交集即可.【详解】由，得或，由，得，由，得，∴当，，同时成立时，取交集得，故选：A.4．（2021·全国高三其他模拟）毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新丸经过50天后，体积变为，则一个新丸体积变为需经过的时间为（    ）A．125天 B．100天 C．75天 D．50天【答案】C【解析】根据题意将当时代入计算出，然后再代入计算即可求出结果.【详解】解析：由题意知，当时，有．即，得．所以当时，有．即，得．所以．故选：C5．（2021·河北饶阳中学高三其他模拟）函数（为常数，，为自然对数的底数）的图象可能为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】考查函数在上的函数值符号，结合特殊值法、排除法可得出合适的选项.【详解】，排除A选项；当时，，则，排除D选项；因为，所以，根据指数函数的性质，对于，，因为，故，排除C选项.故选：B.6．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知函数为上的奇函数，当时，；若，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由奇函数性质及的解析式，求得，在实数范围内单调递减，比较数的大小，从而有.【详解】当时，，由奇函数的性质知，，，函数单调递减；又，，则由函数单减知，故选：D7．（2021·全国高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.8．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数，方程有两解，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据已知条件对进行分类讨论：、，然后分别考虑每段函数的单调性以及取值范围，确定出方程有两解时所满足的不等式，由此求解出的取值范围.【详解】因为，所以且，当时，在时单调递增，所以；又在时单调递增，且，因为方程有两解，所以，所以；当时，在时单调递减，；又在时单调递增，，因为方程要有两解，所以，此时不成立.综上可得，故选：B.9．（2021·山东高三其他模拟）已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】函数的零点个数转化为两个函数图象交点的个数，转化条件为函数周期，当时，，根据周期性可画出它的图象，从图象上观察交点个数即可.【详解】∵，则函数是周期的周期函数．又∵函数是定义在上的偶函数，且时，，∴当时，，令，则函数的零点个数即为函数和的图象交点个数，分别作出函数和的图象，如下图，显然与在上有1个交点，在上有一个交点，当时，，而，所以或时，与无交点．综上，函数和的图象交点个数为2，即函数的零点个数是2．故选：A10．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三其他模拟）已知，下列不等式成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据指数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，结合题意，可判断A、B、D的正误；根据对数函数的运算性质，可判断C的正误，即可得答案.【详解】对于：构造函数，由于，则函数在上为减函数，又因为，则有，所以错误；对于：构造函数，由于，则函数在上为增函数，又因为，则，所以B错误；对于C：，因为，所以，所以，所以，所以正确;对于D：，由于，所以，所以，所以错误；故选：C第II卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2021·北京）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为_______；的取值范围是________.【答案】        【解析】根据题意，直接列式，根据题意求的最小值和最大值，得到的取值范围.【详解】由题意可知函数关系式是，由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是.故答案为：；12．（2021·福建高三三模）已知函数，若，则___________.【答案】4【解析】根据题意，由函数的解析式分与两种情况讨论，求出的值，即可得答案.【详解】根据题意，函数，当时，，无解；当时，，解可得，符合题意，故，故答案为：4.13．（2021·全国高三其他模拟）已知，若，则实数的值是___________；若，则实数的取值范围是___________.【答案】或        【解析】（1）对分两种情况，可分别得到方程，再解方程；（2）利用换元法令，将不等式转化为，再进一步解的取值范围；【详解】（1）当时，解得，当时，解得或(舍).（2）设，由得；由，解得.故答案为：或；.14．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）设定义域为，已知在上单调递减，是奇函数，则使得不等式成立的取值范围为___________.【答案】【解析】根据是奇函数判断函数的对称中心，等价于，等价于，即可得到关于x的不等式，求出x的范围.【详解】因为是奇函数，故 图像关于 对称，由题设，因为在上单调递减，所以等价于，因此不等式等价于，即 ，即 且 ，解得取值范围为.故答案为：15．（2021·全国高一课时练习）对于任意的实数，表示中较小的那个数，若，，则集合_______；的最大值是_______.【答案】    1    【解析】作出函数的图象，解出方程可得，由图可得，然后可得其最大值.【详解】函数的图象如下，令，即解得或则集合 由题意及图象得由图象知，当时，最大，最大值是1.故答案为：，116．（2021·浙江高三其他模拟）已知则______；若函数的值域为，则的最小值为______．【答案】2        【解析】根据函数的解析式，结合和一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】，要使得函数的值域为，则满足，解得，所以实数的最小值为．故答案为：①2；②-3.17．（2021·恩施市第一中学高一月考）用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合．一病患开始注射后，最迟隔__________小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔__________小时开始进行第二次注射．（计算结果精确到个位数，参考数据：，）．【答案】16    7    【解析】根据题意解方程可得第一个空的答案，利用对数知识解方程可得第二个空的答案.【详解】因为此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，所以血药浓度在15的时候，必须马上停止注射，由，得，得，即一病患开始注射后，最迟隔16小时停止注射.为保证治疗效果，血药浓度从15降到4的时候开始进行第二次注射为最多时间间隔，由，得，两边取常用对数得，得，所以为保证治疗效果，最多再隔7小时开始进行第二次注射．故答案为：16；7三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·福建福州市·高三月考）已知函数（）在区间上的最大值为4，最小值为1，记．（1）求实数，的值；（2）若不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）或．【解析】(1)结合函数的单调性及最值，构造关于，的方程组，解得，的值；(2)由(1)可得函数解析式，根据根据函数的奇偶性可得出，解不等式即可.【详解】(1)∵函数，因为，所以在区间上是增函数，又∵函数故在区间上的最大值为4，最小值为1，，解得；(2)由已知可得为偶函数，所以不等式可化为,解得或．19．（2021·云南丽江市·高一期末）已知函数是R上的奇函数.（1）求的值；（2）用定义证明在上为减函数；（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）由奇函数的性质可得，从而可求出的值；（2）直接利用函数单调性的定义证明即可；（3）将不等式转化为，再由在上为减函数，可得，即，构造函数，利用二次函数的性质求出其最小值即可【详解】解：（1）由函数是R上的奇函数知，即，解得.（2）由（1）知.任取，则因为，所以，所以，又因为，故，所以，即所以在上为减函数.（3）不等式可化为因为是奇函数，故所以不等式可化为由（2）知在上为减函数，故即即对于任意，不等式恒成立.设易知因此所以实数的取值范围是.20．（2021·全国高三其他模拟）已知函数，函数的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数的图象．（1）写出的解析式：（2）若，时，总有成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设是函数图象上的任意一点，则P关于原点的对称点Q的坐标在函数的图象上得，再是函数图象上的点，可得答案；（2）求时，利用换元法求出的最小值可得答案．【详解】（1）由题意，设是函数图象上的任意一点，则P关于原点的对称点Q的坐标为，因为已知点Q在函数的图象上，所以，而，所以，所以，而是函数图象上的点，所以．（2）当时，，下面求当时，的最小值，令，则，因为，即，解得，所以，又，所以，所以，所以时，的最小值为0，因为当时，总有成立，所以，即所求m的取值范围为．21．（2021·浙江高二期末）设，函数，，且．（1）当时，若在上是单调递增函数，求b的取值范围；（2）若在R上恰有3个相异实根，求a的值；（3）设，若对任意，都有，求的最小值．【答案】（1）      （2）    （3）10【解析】(1) 当时，在上单调递增，由可得答案.(2) 由题意，当时，不满足条件. 当时,由的对称轴方程为，此时，结合的图像可得答案.(3)由题意即对任意，都有，也即是则且在时恒成立.设，当时，对任意，且恒成立.所以，从而得出，即可得出答案.【详解】由，可得 （1）当时，，其对称轴方程为 所以函数在上单调递增，在上是单调递增函数，则所以，解得（2）在R上恰有3个相异实根，即在R上恰有3个相异实根由当时，，此时在R上恰有2个相异实根，不满足条件.当时,由的对称轴方程为，此时当时, 的图像如图，要使得在R上恰有3个相异实根则，则 当时, 的图像如图，要使得在R上恰有3个相异实根则，则 所以在R上恰有3个相异实根，则.(3) 若，对任意，都有即，若对任意，都有则且在时恒成立.设，当时，对任意，且恒成立.则，即，即由，则，所以则所以当时，所以当，时，有最小值10.22．（2021·浙江高一期末）已知函数，函数，其中（1）若恒成立，求实数t的取值范围；（2）若，①求使得成立的x的取值范围；②求在区间上的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）将问题转化为“恒成立”，然后根据与的大小关系求解出的取值范围；（2）①分别考虑时不等式的解集，由此确定出成立的的取值范围；②先将写成分段函数的形式，然后分段考虑的最大值，其中时注意借助二次函数的单调性进行分析.【详解】（1）因为恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以，解得，所以；（2）①当时，，所以，解得；当时，，所以，因为，所以，所以无解，综上所述：的取值范围是；②由①可知：，当时，，所以，所以；当时，的对称轴为，所以，且，所以，令，所以，所以，综上可知：.