2020-2021学年第六章 平面向量初步本章综合与测试单元测试测试题
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第六单元平面向量初步单元测试卷人教 B版(2019)高中数学必修二
一、单选题(本大题共12小题,共60.0分)
- 设P是所在平面内的一点,且,则
A. B.
C. D.
- 平面向量共线的充要条件是
A. 方向相同
B. 两向量中至少有一个为零向量
C. ,
D. 存在不全为零的实数,,使得
- 在等腰梯形ABCD中,,,E为BC的中点,则
A. B.
C. D.
- 已知,是不共线的向量,,,且A,B,C三点共线,则实数的值为
A. B. 2 C. 或1 D. 或2
- 向量在正方形网格中的位置如图所示若向量与垂直,则实数
A.
B.
C. 3
D. 2
- 已知,,M是线段AB的中点,那么向量的坐标是
A. B. C. D.
- 设,向量,且,则
A. B. C. D. 10
- 如图,O在的内部,D为的中点,且,则的面积与的面积的比值为
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
- 已知点O,N在所在的平面内,且,,则点O,N依次是的
A. 外心,内心 B. 外心,重心 C. 重心,外心 D. 重心,内心
- 长江某地南北两岸平行,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸,假设游船在静水中的航行速度的大小为,水流的速度的大小为设和的夹角为,北岸的点在A的正北方向,游船正好到达处时,
A. B. C. D.
- 在中,向量与满足,且,则为
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等腰直角三角形
- O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足, ,则点P的轨迹一定通过的
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
二、单空题(本大题共3小题,共15.0分)
- 如图,正方形ABCD的边长为2,E是以CD为直径的半圆弧的中点,则 .
|
- 已知向量,向量,则的最大值是 .
三、多空题(本大题共3小题,共15.0分)
- 已知点,,则向量 ,与向量同向的单位向量为 .
- 已知向量,当与平行时, 当与的夹角为锐角时,x的取值范围为
- 某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a时,感到风从东北方向吹来,则实际风速的大小为 ,方向是 风
四、解答题(本大题共5小题,共60.0分)
- 在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,的平分线为AD,若.
当时,求;
当时,求实数m的取值范围.
- 如图所示,在四边形ABCD中,已知,,,,求直线AC与BD交点P的坐标.
|
- 平面内三个向量,,.
求;
求满足的实数m,n;
若,求实数k.
- 已知,.
当k为何值时,与共线
若,且A,B,C三点共线,求m的值.
- 如图,在中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列三式:
;
;
.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查向量线性运算,属于基础题.
由,得,即.
【解答】
解:由,
得,
即.
故选B.
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查向量共线及充要条件等知识.在解决很多问题时考虑问题必须要全面,除了考虑一般性外,还要注意特殊情况是否成立.根据向量共线定理,即非零向量与向量共线的充要条件是必存在唯一实数使得成立,即可得到答案.
【解答】
解:若均为零向量,则显然符合题意,且存在不全为零的实数,,使得;
若,则由两向量共线知,存在,使得,
即,符合题意,
故选D.
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的线性运算,属基础题.
取AB中点F,连接DF,则四边形DFBC为平行四边形,,又转化为即可.
【解答】
解:取AB中点F,连接DF,
,,
,,
四边形DFBC为平行四边形,
,
.
故选A.
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查向量共线定理及其应用,属于基础题.
由, ,,得到方程组,即可求解.
【解答】
解:因为A,B,C三点共线,
所以存在实数k使.
因为,,
所以
因为与不共线,所以
解得或.
故选D.
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查向量加法和数乘的几何意义,考查向量的坐标运算,属于基础题.
令,,,根据向量垂直的坐标运算即可求出的值.
【解答】
解:根据图形可令,,,
则,
因为与垂直,
所以,
,
故选:C.
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了中点坐标公式、向量坐标运算性质,属于基础题.
利用中点坐标公式、向量坐标运算性质即可得出.
【解答】
解:,,M是线段AB的中点,
,
.
故选:A.
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查向量平行与向量垂直的条件、向量的坐标运算及向量的模,根据题意利用向量平行与向量垂直的条件可求得x,y的值,然后可得,进而可得,从而即可求得结果.
【解答】解:,,
,,
解得,,
因此,
所以,
所以.
故选B.
8.【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面向量的几何运算可知O为CD的中点,从而得出答案.
本题考查了平面向量的几何运算,属于中档题.
【解答】
解:为AB的中点,
,
,
,
是CD的中点,
,
.
故选B.
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的应用问题,解题时可以结合图形,容易解答问题,是中档题.
由题意,得出点O是的外心;由得出点N是的重心.
【解答】
解:根据题意,在所在的平面内,
,
点O是的外心;
又,
,
即,
、E、F分别是三边的中点,
点N是的重心.
故选:B.
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查向量的应用,属于基础题.
根据题意,判断出船的实际速度方向与水流速度方向垂直,即可求解.
【解答】
解:船垂直到达对岸,可设船实际速度为,
则船的实际速度方向与水流速度方向垂直,
所以
,
故选D.
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的数量积和几何应用,属于中档题.
利用已知和数量积可知,,,从而判断出三角形的形状.
【解答】
解:,
,分别为,方向上的单位向量,
的角平分线与BC垂直,可得,
由,
可得,
则,
,.
三角形为等腰直角三角形.
故选:D.
12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了数量积运算、三角形的垂心性质,属于中档题.
可先根据数量积为零得出,可得点P在BC的高线上,进而可得结果.
【解答】
解:,
,
,
,
点P在BC的高线上,即动点P的轨迹过的垂心,
故选D.
13.【答案】6
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的数量积运算、投影向量等知识,属基础题.
依题意求出在方向上的投影向量的模长,再利用向量数量积即可解答.
【解答】
解:因为E是以CD为直径的半圆弧的中点,则E到AB的距离为,
所以在方向上的投影向量的模长为3,
所以,
故答案为6.
14.【答案】4
【解析】
【分析】
本题考查向量坐标运算、模的计算和三角恒等变换及最值,考查运算能力,属中档题.
利用向量模的计算公式和三角函数值域的求法,即可得出.
【解答】
解:向量,向量
则,
,
当时,取得最大值4.
故答案为4.
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的加减运算,属于基础题.
根据向量加减法的三角形法则可得结果.
【解答】
解:.
故答案为.
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的坐标运算以及单位向量的计算.
本题可根据向量的坐标的减法运算得出第一个结果,然后根据求单位向量的公式进行代入计算可得第二个结果.
【解答】
解:由向量的坐标定义,可知:
.
.
与向量同向的单位向量
故答案为:,
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的坐标运算,向量平行,向量的夹角、向量数量积.
先求出与的坐标,再由向量平行的条件建立方程,求出x的值;与的夹角为锐角,则两向量的数量积大于0,由于两向量共线同向时,向量的内积也为正,问题转化为内积为正,且不共线,根据相关公式建立方程即可求解.
【解答】
解:由题意得,.
由与平行,得,;
当与的夹角为锐角时,则有
即
且.
即x的取值范围为.
故答案为:;.
18.【答案】
西北
【解析】
【分析】
本题考查向量的概念及几何表示,向量的加法、减法、数乘运算,属于中档题,由题意,如图,设,,, ,这就是感到由正北方向吹来的风速,, ,于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是 ,利用解三角形可得结论.
【解答】
解:如图设,,
, ,这就是感到由正北方向吹来的风速.
, ,
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是 ,
由题意知,,,从而为等腰直角三角形.
,即,
故实际风速是大小为的西北风.
19.【答案】解:由题意得,;
故;
故;
故;
;
故
;
,;
故,
,
即.
【解析】本题考查了平面向量的应用及解三角形的应用,属于中档题.
由题意得,;从而可得;从而可得;
,从而可得,从而可求出m的取值范围.
20.【答案】解: 设,则,
,,.
由B,P,D三点共线可得.
又,
由于与共线得,.
解得,
,
的坐标为
【解析】本题考查了平面向量的几何应用,共线向量的坐标表示,属于基础题.
设,由B,P,D三点共线可得,进而得出,由与共线得出,进而得出P点坐标.
21.【答案】解:,
;
由,得,
,解得;
,,
,,
解得.
【解析】本题考查了平面向量坐标的加法、减法和数乘运算,相等向量的坐标关系,平行向量的坐标关系,考查了计算能力,属于基础题.
可求出向量的坐标,然后求出的值;
根据,即可得出,然后解出m,n的值即可;
由,,然后根据,即可得出关于k的方程,再解出k的值即可.
22.【答案】解:,.
因为与共线,
所以,
解得.
因为A,B,C三点共线,
所以,即,
所以
解得.
【解析】本题考查向量的坐标运算、向量共线的充要条件.
结合已知易得,再结合向量共线定理可得,解方程即可求出k的值;
由A,B,C三点共线,可得,再结合已知条件可得,据此可求得m的值.
23.【答案】解:
.
【解析】本题考察向量的加法,
根据向量三角形法则就可以得到,,的结果.
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