北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系课后练习题

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2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》同步练习题
1．若关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣＝0有实数根，则实k的取值范围是　 　．
2．已知关于x的方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
3．关于x的方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是　 　．
4．关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m﹣＝0有实数根，则实数m的取值范围是　 　．
5．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　 　．
6．关于x的一元二次方程x2+k＝0有实数根，则实数k的取值范围为　 　．
7．若关于x的方程x2+2（k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根，则k的取值范围是　 　．
8．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是　 　．
9．若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为 　 　．
10．已知关于x的方程x2+6x+a＝0有一根为﹣2，则方程的另一根为　 　．
11．若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是﹣1，则另一个根是 　 　．
12．设m、n是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　 　．
13．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝　 　．
14．若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是 　 　．
15．若x1，x2方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于　 　．
16．设方程x2﹣4x+1＝0的两个根为x1与x2，则x1+x2﹣x1x2的值是　 　．
17．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足x1x2+x1+x2＝3，求k的值为 　 　．
18．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2＝　 　．
19．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且＝1，则m＝　 　．
20．关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0的两实根为x1，x2，且x12+x22＝3k2，则k＝　 　．
21．设a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为　 　．
22．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+3x2的值等于 　 　．
23．α是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，α+β＝2，则β2﹣2β的值是　 　．
24．设α、β是方程x2+2x﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为　 　．
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　．
26．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．



27．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x＝4m﹣3有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x1与x2，若x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，求m的值．



28．已知关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，当k＝2时，求的值．




29．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1x2＝10，求m的值．

参考答案
1．解：∵kx2﹣2x﹣3＝0有实数根，
∴，
解得k≥﹣1且k≠0，
故答案为k≥﹣1且k≠0．
2．解：∵关于x的方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×（﹣m）＝0，
解得：m＝﹣，
故答案为：﹣．
3．解：∵关于x的方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m≠0，
∴4+4m＞0且m≠0，
∴m＞﹣1且m≠0，
故答案为：m＞﹣1且m≠0．
4．解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m﹣＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（m﹣）＝16﹣8m+12≥0，
解得：m≤，
故答案为：m≤．
5．解：∵一元二次方程有实数根，
∴Δ＝≥0且≠0，
解得：m≤5且m≠4，
故答案为：m≤5且m≠4．
6．解：∵关于x的一元二次方程x2+k＝0有实数根，
∴Δ＝02﹣4×1×k≥0，
解得：k≤0，
故答案为：k≤0．
7．解：根据题意得Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2＞0，
解得k＜．
故答案为k＜．
8．解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7．
故答案为﹣7．
9．解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2+3m﹣1＝0，
∴3m﹣1＝﹣m2，
∵Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴m+n＝﹣3，
∴＝＝＝3，
故答案为3．
10．解：设方程的另一根为m，
根据题意得：﹣2+m＝﹣6，
解得：m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
11．解：∵关关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是﹣1，设另一根为m，
∴﹣1×m＝﹣2，
解得：m＝2，
则另一根为2．
故答案为2．
12．解：∵m、n是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
并且m2+m﹣2021＝0，
∴m2+m＝2021，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2021﹣1＝2020．
故答案为：2020．
13．解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，m2+2m＝2021，
则原式＝m2+2m+m+n
＝m2+2m+（m+n）
＝2021﹣2
＝2019．
故答案为：2019．
14．解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根，
∴m2+2m﹣1＝0，
∴m2+2m＝1，
∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝﹣2，
∴m2+4m+2n＝m2+2m+2m+2n＝1+2×（﹣2）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2021＝0，即x12﹣4x1＝2021，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2021+2×4
＝2021+8
＝2029．
故答案为：2029．
16．解：∵方程x2﹣4x+1＝0的两个根为x1与x2，
∴x1+x2＝4，x1x2＝1，
则原式＝4﹣1＝3，
故答案为：3．
17．解：∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）
＝﹣4k+5≥0，
解得k≤．
∵x1+x2＝1﹣2k，x1x2＝k2﹣1，x1x2+x1+x2＝3，
∴k2﹣1+1﹣2k＝3，
即k2﹣2k﹣3＝0，
∴k1＝﹣1，k2＝3，
∵k≤，
∴k＝﹣1，
故答案为﹣1．
18．解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝3．
则x1+x2﹣x1x2＝4﹣3＝1．
故答案是：1．
19．解：∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，解得m≥0，
α+β＝2m，αβ＝m2﹣m，
∵＝1，即＝1，
∴＝1，
解得m1＝0，m2＝3，
经检验，m1＝0不合题意，m2＝3符合题意，
∴m＝3．
故答案为：3．
20．解：由根与系数的关系得：x1+x2＝1，x1•x2＝k，
∵方程两实根满足x12+x22＝3k2，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝3k2，
∴12﹣2k＝3k2，
解得：k＝或﹣1，
当k＝时，方程为x2﹣x+＝0，Δ＝12﹣4×1×＝﹣＜0，此方程无解，
当k＝﹣1时，方程为x2﹣x﹣1＝0，此方程有解，
故答案为：﹣1．
21．解：∵a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2021，
∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2021+1+1＝﹣2019，
故答案为：﹣2019．
22．解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x12﹣5x1﹣2020＝0，x1+x2＝5，
∴x12﹣5x1＝2020，
∴原式＝x12﹣5x1+3x1+3x2＝x12﹣5x1+3（x1+x2）＝2020+15＝2035，
故答案为：2035．
23．解：设一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的另一个根是x2，
∴α+x2＝2，
∵α+β＝2，
∴方程的另一个根是β，
∴β2﹣2β﹣4＝0，
∴β2﹣2β＝4，
故答案为4．
24．解：根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021．
又∵α+β＝﹣2．
所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019．
故答案是：2019．
25．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤，
由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣3，
故答案为﹣3．
26．解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
27．解：（1）方程化为x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3＝0，
根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝（6﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4m+3）＝﹣8m+24≥0，
解得m≤3；
（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2m﹣6，x1x2＝m2﹣4m+3，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，
∴x1x2﹣（x1+x2）2+2x1x2＝﹣7，
即3x1x2﹣（x1+x2）2＝﹣7，
∴3（m2﹣4m+3）﹣（2m﹣6）2＝﹣7，
整理得m2﹣12m+20＝0，解得m1＝2，m2＝10，
∵m≤3，
∴m＝10应舍去，
∴m＝2．
28．解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+k＝0有实数根，
∴，
解得：k≥﹣且k≠0．
（2）当k＝2时，原方程为2x2+5x+2＝0，
∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝．
29．解：（1）由题意可知：Δ＝（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m，x1+x2+x1x2＝10，
∴2m﹣2+m2﹣2m＝10，
∴m2＝12，
∴m＝﹣2或m＝2．