人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布本章综合与测试随堂练习题

第七章  章末测试

一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）

1．（2021·吉林长春市）长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，可知，

利用条件概率的计算公式，可得，故选B.

2．（2020·全国高二单元测试）现在有张奖券，张元的，张元的，某人从中随机无放回地抽取张奖券,则此人得奖金额的数学期望为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】当取三张都是两元的得奖金额是元；当取两张两元一张五元得奖金额是元； 当取一张两元两张五元得奖金额是元.故得奖金额为,对应的概率分别是,故其数学期望是,应选B.

3．（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中）一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则（   ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】可能的取值为；可能的取值为，

，，，

故，.

，，

故，,

故，.故选B.

4．（2021·浙江绍兴市）设，若随机变量的分布列如下：

则下列方差值中最大的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，，

，，

，

．

，，．

其中最大．

故选：C．

5．（2020·全国高二课时练习）已知离散型随机变量的概率分布如下，则其数学期望（    ）

A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.4

【答案】D

【解析】∵分布列中所有的概率之和等于1，

，∴随机变量的数学期望.

故选：D.

6．（2020·广东云浮市·高二期末）某小区有1000户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量在210度以上的居民户数约为（    ）

（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）

A．17 B．23 C．90 D．159

【答案】D

【解析】由题得，，

所以，

所以，

所以用电量在210度以上的居民户数为．

7．（2020·全国高二）已知，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，可得.故选：C.

8．（2020·湖北随州市·高二期末）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于或等于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（    ）

A．100 B．200 C．300 D．400

【答案】D

【解析】由正态分布的特点知，正态密度曲线对称轴为，所以，

因为，所以，

由对称性知：，

所以考试成绩在90分到105分之间的人数约为，

故选：D

二、多选题（每题有多个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）

9．（2020·辽宁沈阳市·高三月考）下列说法中正确的是（    ）

A．设随机变量X服从二项分布，则

B．已知随机变量X服从正态分布且，则

C．；

D．已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大

【答案】ABD

【解析】对于选项设随机变量，

则，

所以选项A正确；

对于选项因为随机变量，

所以正态曲线的对称轴是，

因为，所以，

所以，所以选项B正确；

对于选项，

，故选项C不正确；

对于选项由题意可知，，

，

由一次函数和二次函数的性质知，

当时，随着x的增大而减小，

随着x的增大而增大，故选项D正确.

故选：ABD.

10．（2020·全国高二单元测试）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（    ）

A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是

B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为

C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为

D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为

【答案】ABD

【解析】A.恰有一个白球的概率，故A正确；

B.每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为，故B正确；

C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以P(B|A)＝，故C错误；

D．每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为，故D正确．

故选：ABD.

11．（2020·福建高三其他模拟）一盒中有8个乒乓球，其中6个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是（    ）

A．X的所有可能取值是3，4，5 B．X最有可能的取值是5

C．X等于3的概率为 D．X的数学期望是

【答案】ACD

【解析】记未使用过的乒乓球为A，已使用过的为B，任取3个球的所有可能是：

1A2B，2A1B，3A；A使用后成为B，故X的所有可能取值是3，4，5；

，

，

又X最有可能的取值是4，

．

故选：ACD．

12．（2020·湖北荆州市·荆州中学）已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分X服从正态分布N，则下列说法正确的有(    ).

参考数据：①；②；③

A．这次考试标准分超过180分的约有450人

B．这次考试标准分在内的人数约为997

C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为

D．

【答案】BC

【解析】选项A；因为正态分布曲线关于对称，

所以这次考试标准分超过180分的约有人，故本说法不正确；

选项B：由正态分布N，可知：，

所以，

因此这次考试标准分在内的人数约为人，故本说法正确；

选项C：因为正态分布曲线关于对称，

所以某个人标准分超过180分的概率为，

因此甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为，故本说法正确；

选项D：由题中所给的公式可知：

，

，

所以由正态分布的性质可知：

所以本说法不正确.

故选：BC

三、填空题（每5分，4题共20分，双空题第一空2分，第二空3分）

13．（2021·天津静海区·静海一中）一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则_______；______．

【答案】    1   

【解析】随机变量，

对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，

所以，

对应事件为第一次拿黄球，第二次拿红球，或第一次拿黄球，第二次拿绿球，第三次拿红球，或第一次拿绿球，第二次拿黄球，第三次拿红球，

故，

故，所以.

故答案为：.

14．（2021·江苏苏州市）在“学习强国”APP中，“争上游”的答题规则为：首局胜利得3分，第二局胜利得2分，失败均得1分.如果甲每局胜利的概率为，且答题相互独立，那么甲作答两局的得分期望为______．

【答案】

【解析】根据题意，该人参加两局答题活动得分为，则可取的值为2，3，4，5，

若，即该人两局都失败了，则，

若，即该人第一局失败了，而第二局胜利，则，

若，即该人第一局胜利，而第二局失败，则，

若，即该人两局都胜利了，则，

故，

故答案为：．

15．（2020·江苏省镇江第一中学高二期末）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片"鲲鹏920”､清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”､“特斯拉全自动驾驶芯片”､寒武纪云端AI芯片“思元270”､赛灵思“Versal自适应计算加速平台”：现有1名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选3项进行了解，在其中1项选择华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域的概率为___．

【答案】

【解析】根据题意，15项“世界互联网领先科技成果”中，

其中5项为芯片领域，10片为非芯片领域，其中“鲲鹏920”也属于芯片领域，

设选出的3项中，其中1项选择华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”为事件，

则共有种情况，即，

设在已选出1项为“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域为事件，

则共有种情况，即，

所以在已选出1项为“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域的概率为：

.

故答案为：.

16．（2020·全国高三专题练习）已知X的分布列如图所示，则（1），（2），（3），其中正确的个数为________.

【答案】1

【解析】由分布列的性质，可得，即，

所以，

,

综上可得（1）正确，（2）（3）错误，所以正确的个数是1.

故答案为：1.

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）

17．（2020·全国）为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:

 (1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；

(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X，求随机变量X的分布列及均值E(X);

(3)试比较男生学习时间的方差与女生学习时间的方差的大小.(只需写出结论)

【答案】（1）240人；（2）分布列见解析，2；（3）.

【解析】(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.

故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×=240.

(2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4，

故X的所有可能取值为0，1，2，3，4.

由题意可得

P(X=0)=，

P(X=1)=，

P(X=2)=，

P(X=3)=，

P(X=4)=.

所以随机变量X的分布列为

∴均值E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2.

(3)由折线图可得.

18．（2021·江西景德镇市）为了解某市2021届高三学生备考情况，教研所计划在2020年11月、2021年1月和2021年4月分别进行三次质量检测考试，第一次质量检测考试（一检）结束后，教研所分析数据，将其中所有参加考试的理科生成绩数据绘制成了扇形统计图，分数在之间的理科学生成绩绘制成频率分布直方图，已知参加考试的理科生有12000人.

（1）如果按照上届高三理科生60%的二本率来估计一检的模拟二本线，请问一检考试的模拟二本线应该是多少；

（2）若甲同学每次质量检测考试，物理、化学、生物及格的概率分别为，，，请问甲同学参加三次质量检测考试，物理、化学、生物三科中至少2科及格的次数分布列及期望.

【答案】（1）458；（2）答案见解析.

【解析】（1）分以上的频率为：，

要达到60%的二本率，所以，之间频率为：

因为的频率总和为

所以模拟二本线应在之间，设为

则解得：；

（2）至少2科及格的概率

，，，1，2，3

.

19．（2021·湖北宜昌市）某校高一年级组织“知识竞答”活动．每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

（1）求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；

（2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分的分布列和期望；

（3）求这位参赛者闯关成功的概率．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）.

【解析】（1）设事件这位参赛者回答对第i个问题，

∴

（2）

，，

，，

，，

，，

∴的分布列为：

．

（3）由（2）得这位参赛者闯关成功的概率为．

20．（2021·江西赣州市））一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.

（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；

（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望.

【答案】（1）；（2）分布列见解析，.

【解析】（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲的得分不低于乙的得分”为事件，因为球的总分为16，即事件指的是甲的得分大于等于8

则

（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分、7分、8分、9分、10分、11分等

所以的分布列为：

所以的数学期望．

21．（2021·湖北黄冈市·高二期末）在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中，大赛分预赛与复赛两个环节．预赛有4000人参赛．先从预赛学生中随机抽取100人成绩得到如下频率分布直方图：

（1）若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，求至少1人成绩不低于80分的概率；

（2）由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩Z服从正态分布，其中可以近似为100名学生的预赛平均成绩，，试估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数；

（3）预赛成绩不低于91分的学生可以参加复赛．复赛规则如下：①每人复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量，每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格，规定回答第题时扣掉分；③每答对一题加2分，答错既不加分也不扣分；④答完n题后参赛学生的最后分数即为复赛分数．已知学生甲答对每题的概率为0.75，且各题答对与否相互独立，若甲期望得到最佳复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？

（参考数据，若，则，，）．

【答案】（1），（2），（3）若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量应该是7．

【解析】（1）样本成绩不低于60分的学生有人

其中成绩不低于80分的有人

则至少有1人成绩不低于80分的概率

（2）由题意知样本中100名学生成绩平均分为，所以，，所以

所以，则

故全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数为人

（3）以随机变量表示甲答对的题数，则，且，

记甲答完题所加的分数为随机变量，则，

，

依题意为了获取答题的资格，甲需要扣掉的分数为：

，

设甲答完题的分数为，

则，

由于，当时，取最大值，即复赛成绩的最大值为．

若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量应该是7．

22．（2021·全国）共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下一个很好的发展商机.某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品.市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎，一般使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为.该公司为了促进大家消费，使用共享电动车一次记2分，使用共享单车一次记1分.每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立.

（1）从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；

（2）记某一市民已使用该公司共享交通工具的累计得分恰为分的概率为(比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2分的概率，)，试探求与之间的关系，并求数列的通项公式.

【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2），.

【解析】（1）由题意，从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，

则总得分为随机变量的可能取值为，

则，，

，，

所以的分布列为

所以数学期望.

（2）已调查过的累计得分恰为分的概率为，得不到分的情况只有先得分，

再得2分，概率为，其中.

因为，即，所以，

则是首项为，公比为的等比数列，

所以，所以.