高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式课后练习题

2.3.2 两点间的距离公式  -B提高练

一、选择题

1．（2020全国高二课时练）已知点，，，且，则的值是(   )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为点，，，且，

所以.解得.

2．（2020福建三明一中高二期中）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=(   )

A．2 B．4 C．5 D．10

【答案】D

【解析】将直角三角形的直角顶点与原点重合，设，，那么，那么，故选D．

3．（2020宁夏银川一中高二月考）已知，，则的最大值为（    ）

A． B．2 C．4 D．

【答案】B

【解析】∵，，∴

.

∵，∴.故选B.

4．（2020湖南师大附中高二月考）已知的三个顶点分别是，，，M是边BC上的一点，且的面积等于面积的，那么线段AM的长等于（    ）．

A．5 B． C． D．

【答案】A

【解析】由于的面积等于面积的，故，设，由得，解得，即，

所以.故选A.

5．（多选题）（2020全国高二课时练）一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标可能是 (　　)

A．(－3,1)        B．(2,7)       C． (7,1)        D．(2，－3)

【答案】AC

【解析】∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7.故答案为AC.

6.（多选题）（2020青岛八中高二月考）等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B的坐标可能是(　　)

A． (6,4) B．(2,0) C．(4,6) D．(0,2)

【答案】BC

【解析】设，则

解得或，故选BC

二、填空题

7．（2020上海高二课时练）若直线过定点，直线过定点，则两点间的距离是____________．

【答案】

【解析】由得，所以，直线方程变形为：，由解得，即，所以．

8．（2020山东菏泽三中高二月考）在直线x－y＋4＝0上取一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________.

【答案】

【解析】设直线上一点，则到点，的距离相等，

∴，解得，∴，

∴点的坐标为.

9．（2020上海高二课时练）复数在复平面中所对应点到原点的距离是________.

【答案】

【解析】，所以，复数在复平面内，对应点的坐标为，所以，复数在复平面中所对应点到原点的距离为.

10．（2020·广东东莞四中高二月考）已知点. 若从点射出的光线经直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为_____________；若从点射出的光线经直线反射，再经直线反射后回到点，则光线所经过的路程是__________（结果用表示）.

【答案】       

【解析】设点关于直线的对称点为，直线：，

所以解得，，故，由

：，即.

点关于轴对称点，设关于直线对称点，

由解得，，故.

故

三、解答题

11．（2020上海高二课时练）已知：四边形是等腰梯形，且，求梯形各边所在直线的方程．

【解析】过点且一个方向向量是，则，即；

过点且一个方向向量是，则；

过点且一个方向向量是，则，即；

设点的坐标为，由于点在直线上，且，则或，

当时，四边形是平行四边形，舍去，

所以点的坐标是．

过点且一个方向向量是，

则，即．

12．（2020福建莆田一中高二月考）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；

（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．

【解析】解法一：

（1）过A作，垂足为E.

由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.

因为PB⊥AB，

所以，所以.

因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处，连结AD，由（1）知，

从而，所以∠BAD为锐角.

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此，Q选在D处也不满足规划要求.

综上，P和Q均不能选在D处.

（3）先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.

设为l上一点，且，由（1）知，，

此时；

当∠OBP>90°时，在中，.

由上可知，d≥15.

再讨论点Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.

因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.

解法二：

（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.

以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.

因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.

因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.

从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为.

因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，直线PB的方程为.

所以P（−13，9），.

因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），

所以线段AD：.

在线段AD上取点M（3，），因为，

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.

综上，P和Q均不能选在D处.

（3）先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.

设为l上一点，且，由（1）知，，此时；

当∠OBP>90°时，在中，.由上可知，d≥15.

再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.

当QA=15时，设Q（a，9），由，

得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上，当P（−13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离

.

因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.