北师大版必修11正整数指数函数一课一练

第三章　指数函数和对数函数

§1　正整数指数函数

基础过关练

题组一　正整数指数函数的概念及其应用

1.下列函数中一定是正整数指数函数的为 (　　)

A.y=2x+1,x∈N+

B.y=x3,x∈N+

C.y=3x,x∈N+

D.y=3×2x,x∈N+

2.函数y=(x∈N+)的值域是 (　　)

A.R    B.正实数

C.N    D.

3.已知正整数指数函数f(x)=(a-2)·ax(x∈N+),则f(2)等于 (　　)

A.2    B.3 C.9    D.16

4.经过点(2,9)的正整数指数函数的解析式为　　　　. 

5.已知函数f(x)=(m-1)·4x(x∈N+)是正整数指数函数,则实数m=　　　　. 

6.判断下列函数是不是正整数指数函数:

(1)y=()x(x∈N+);

(2)y=2×()x(x∈N+);

(3)y=x3(x∈N+);

(4)y=(a+1)-x(a>-1,a≠0,x∈N+).

题组二　正整数指数函数的图像与性质

7.函数y=(x∈N+)的图像是 (　　)

A.一条上升的曲线 B.一条下降的曲线

C.一系列上升的点 D.一系列下降的点

8.若正整数指数函数y=(a+1)x(x∈N+)的图像如图所示,则a的值是　 (　　)

A.0    B.1 C.2   D.3

9.若f(x)=3x(x∈N+),则函数y=f(-x)在其定义域上 (　　)

A.单调递增      B.单调递减

C.先增后减   D.先减后增

10.正整数指数函数f(x)=(a+1)x是N+上的减函数,则a的取值范围是 (　　)

A.a<0          B.-1<a<0   C.0<a<1   D.a<-1

11.若y=(2-3a)x(x∈N+)为递增的正整数指数函数,则a的取值范围是　　　　. 

12.已知不等式(a2+a+2)2x>(a2+a+2)x+8,其中x∈N+,使此不等式成立的x的最小整数是　　　　. 

13.已知函数y=ax(a>0,a≠1,x∈N+)在区间[1,3]上的最大值为8,则a的值为　　　　.  

14.已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27).

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求f(5)的值;

(3)函数f(x)有最值吗?若有,试求出;若无,请说明理由.

题组三　正整数指数函数模型的应用

15.某中心城区现有绿化面积1 000 hm2,计划每年增长4%,经过x(x∈N+)年,绿化面积为y hm2,则x,y间的函数关系为              (　　)

A.y=1 000(1+4%)x(x∈N+)

B.y=(1 000×4%)x(x∈N+)

C.y=1 000(1-4%)x(x∈N+)

D.y=1 000(4%)x(x∈N+)

16.一批价值a万元的设备,由于使用时磨损,每年比上一年的价值降低b%,则n年后这批设备的价值为              (　　)

A.na(1-b%)万元 B.a(1-nb%)万元

C.a[1-(b%)n]万元 D.a(1-b%)n万元

17.某商品的价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化情况是              (　　)

A.增加7.84% B.减少7.84%

C.减少9.5% D.不增不减

18.光线通过一块玻璃板时,其强度要损失20%,现把几块相同的玻璃板重叠起来,设光线原来的强度为1,通过x块玻璃板后的强度为y,则y关于x的函数关系式为　　　　. 

19.有关部门计划于2022年向某市投入128辆电力型公交车,且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%,试问:该市在2028年应投入多少辆电力型公交车?

20.随着人类知识总量增长速度的加快,基础教育的任务已不是教会一切知识,而是让所有人学会学习,已知2002年底,人类知识总量为a,假如从2002年底到2011年底是每三年翻一番,从2011年底到2021年底是每一年翻一番,2022年是每73天翻一番.

(1)求2011年底人类知识总量;

(2)求2021年底人类知识总量;

(3)2022年按365天计算,2022年底人类知识总量是多少?

答案全解全析

第三章　指数函数和对数函数

§1　正整数指数函数

基础过关练

1.C　函数y=ax(a>0,a≠1,x∈N+) 叫作正整数指数函数,符合条件的是y=3x,x∈N+,选项A,D是指数型函数,选项B是幂函数.

2.D　当x取1,2,3,…时,y依次为,,,…,故选D.

3.C　∵f(x)是正整数指数函数,

∴∴a=3,

∴f(x)=3x(x∈N+),

∴f(2)=32=9,故选C.

4.答案　y=3x(x∈N+)

解析　设正整数指数函数的解析式为y=ax(a>0,a≠1,x∈N+),将点(2,9)代入,得9=a2,解得a=3(负值舍去),所以所求解析式为y=3x(x∈N+).

5.答案　2

解析　由题意可知m-1=1,故m=2.

6.解析　(1)y=()x(x∈N+)符合正整数指数函数的定义,所以是正整数指数函数.

(2)y=2×()x(x∈N+)不符合正整数指数函数的定义,所以不是正整数指数函数.

(3)y=x3(x∈N+)不符合正整数指数函数的定义,所以不是正整数指数函数.

(4)由题知y=(a+1)-x=(x∈N+),

因为a>-1且a≠0,所以a+1>0且a+1≠1,

所以>0且≠1,

所以该函数是正整数指数函数.

7.C　y=(x∈N+)是正整数指数函数,

且>1,故图像是一系列上升的点.

8.B　根据函数y=(a+1)x(x∈N+)的图像可知,当x=1时,y=2,即a+1=2,所以a=1.

9.B　∵f(x)=3x(x∈N+),∴y=f(-x)=3-x=(x∈N+),∴函数y=f(-x)在其定义域上单调递减,故选B.

10.B　∵函数f(x)=(a+1)x(x∈N+)是正整数指数函数,且f(x)为减函数,∴0<a+1<1,∴-1<a<0.

11.答案　

解析　由题意得2-3a>1,解得a<,即a的取值范围是.

12.答案　9

解析　∵a2+a+2=+>1,且x∈N+,

∴由正整数指数函数在底数大于1时递增的性质,得2x>x+8,即x>8,

∴使不等式成立的x的最小整数是9.

13.答案　2

解析　由题意知,a>1,且a3=8,故a=2.

14.解析　(1)设正整数指数函数的解析式为f(x)=ax(a>0,a≠1,x∈N+).

因为函数f(x)的图像经过点(3,27),所以f(3)=27,即a3=27,解得a=3,所以函数f(x)的解析式为f(x)=3x(x∈N+).

(2)f(5)=35=243.

(3)有最小值,无最大值.因为f(x)的定义域为N+,且在定义域上是递增的,

所以f(x)有最小值,最小值是f(1)=3,无最大值.

15.A　由题知,每经过一年,绿化面积变为上一年的(1+4%),所以x与y的函数关系为y=1 000(1+4%)x(x∈N+).故选A.

16.D　每经过一年磨损,该批设备的价值变为上一年价值的(1-b%),故经过n年,这批设备的价值变为a(1-b%)n万元.

17.B　设商品原来的价格为a,则两年后的价格为a(1+20%)2,

四年后的价格为a(1+20%)2(1-20%)2=a(1-0.04)2=0.921 6a,

而×100%=-7.84%,故选B.

18.答案　y=0.8x(x∈N+)

解析　当x=1时,y=1×(1-0.2)=0.8;

当x=2时,y=1×(1-0.2)2=0.82;

当x=3时,y=1×(1-0.2)3=0.83;

……

故y关于x的函数关系式为y=0.8x(x∈N+).

19.解析　由题意知,在2023年应投入电力型公交车的辆数为128×(1+50%),

在2024年应投入电力型公交车的辆数为128×(1+50%)×(1+50%)=128×(1+50%)2,……,

故在2028年应投入电力型公交车的辆数为128×(1+50%)6,即128×=1 458.

因此该市在2028年应投入1 458辆电力型公交车.

20.信息提取　①2002年底,人类知识总量为a;②从2002年底到2011年底是每三年翻一番;③从2011年底到2021年底是每一年翻一番;④2022年是每73天翻一番.

数学建模　本题是以人类知识总量的增长为背景,构建正整数指数函数模型,并应用此模型解决生活中的增长问题.

解析　(1)翻一番是在原来的基础上乘2,翻两番是在原来的基础上乘4,即21,22,…,翻n番是在原来的基础上乘2n,

从2002年底到2011年底是每三年翻一番,共翻了三番,所以2011年底人类知识总量为a×23=8a.

(2)从2011年底到2021年底是每一年翻一番,共翻了十番,所以2021年底人类知识总量为8a×210=8 192a.

(3)2022年是73天翻一番,共翻了五番,所以2022年底人类知识总量为8 192a×25=262 144a.