高中数学北师大版必修11正整数指数函数同步测试题

这是一份高中数学北师大版必修11正整数指数函数同步测试题，共16页。

第四章　函数应用
§1~§2综合拔高练
五年高考练
考点1　函数零点及其应用
1.(2018课标全国Ⅰ,9,5分,)已知函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 (　　)
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
2.(2017课标全国Ⅲ,12,5分,)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a= (　　)
A.-12 B.13 C.12 D.1
3.(2018浙江,15,6分,)已知λ∈R,函数f(x)=x-4,x≥λ,x2-4x+3,x<λ.当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是　　　　.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是　　　　.  
4.(2016山东,15,5分,)已知函数f(x)=|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x>m,其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是　　　　. 
考点2　函数模型的综合运用
5.(2020全国Ⅲ,4,5分,)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) (　　)
A.60 B.63 C.66 D.69
6.(2020全国新高考Ⅰ,6,5分,)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) (　　)
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
7.(2019北京,14,5分,)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元; 
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　. 
三年模拟练

1.(2021河南开封高一上五县期中联考,)若f(x)=x+2x+a的零点所在的区间为(-2,1),则实数a的取值范围为 (　　)
A.-2,34 B.-3,74
C.-1,-12 D.0,54
2.(2021湖南师范大学附中高一上段测,)函数f(x)=2x|log12x|-1的零点个数为 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2019安徽宿州十三所重点中学高一上期中,)设函数f(x)=|2x-6|,x≥0,3x+6,x<0,若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是 (　　)
A.[4,6] B.(4,6) C.[-1,3] D.(-1,3)
4.(2021河南郑州高一上期中,)已知函数f(x)=2|x|-3,x>-2,x+5,x≤-2,则y=f(f(x))+1的零点个数为 (　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
5.(2020陕西安康高三下联考,)已知函数f(x)=-x2-2x,x≤0,|log2x|,x>0,若x1 A.①② B.②③ C.②④ D.②③④
6.(2021山东邹城一中高一上期中,)某公司购进了一批机器投入疫情防护物品的生产,依据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:月)的关系为y=-x2+15x-16(x∈N*),则该公司月平均利润最大是　　　　万元. 
7.(2021河南鹤壁顶尖名校高三联考,)函数f(x)=lg(ex+9x)+ln110x-9x的零点个数为　　　　. 
8.(2021山西运城高中联合体高一上联考,)已知指数函数f(x)的图像过点12,22.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(2x)-mf(x-1)+1,且在区间(-1,+∞)上有两个零点,求实数m的取值范围.








9.(2021河南新乡高一上期中联考,)已知函数f(x)=lg(-x),x<0,|ex-2|,x≥0.
(1)若f(a)=1,求a的值;
(2)若关于x的方程f2(x)+mf(x)+2m+1=0恰有5个实数根,求实数m的取值范围.








10.(2021四川泸州泸县二中高一上月考,)某乡镇为了提高当地的经济总量,决定引进资金对原有的两个企业A和B进行改造,计划每年对两个企业共投资500万元,要求对每个企业至少投资50万元.根据已有经验,改造后A企业的年收益P(单位:万元)和B企业的年收益Q(单位:万元)与投入资金a(单位:万元)分别满足关系式:P(a)=120+33a,Q(a)=14a+160.设对A企业投资额为x(单位:万元),每年两个企业的总收益为f(x)(单位:万元).
(1)求f(300);
(2)试问如何安排两个企业的投入资金,才能使两个企业的年总收益达到最大?并求出最大值.









11.(2021重庆西南大学附中高一上月考,)某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商店一种商品销售情况的调查发现:该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价P(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足P(x)=1+kx(k为正实数).该商品的日销售量Q(x)(单位:个)与时间x(天)部分数据如下表所示:
x/天
10
20
25
30
Q(x)/个
110
120
125
120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
(1)求k的值;
(2)给出以下两种函数模型:①Q(x)=ax+b;②Q(x)=a|x-25|+b.请你根据上表中的数据,从中选择你认为较合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系,并求出该函数的解析式;
(3)在(2)的情况下,求该商品的日销售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N+)(单位:元)的最小值.
















答案全解全析
第四章　 函数应用
§1~§2综合拔高练
五年高考练
1.C
2.C
5.C
6.B

1.C　函数g(x)=f(x)+x+a有2个零点,即方程f(x)=-x-a有2个不同的解,即函数f(x)的图像与直线y=-x-a有2个不同的交点.在同一直角坐标系中作出函数f(x)与y=-x-a的图像,如图.

由图可知,当-a≤1,即a≥-1时,函数f(x)的图像与直线y=-x-a有2个不同的交点,即函数g(x)有2个零点.
2.C　由函数f(x)有零点得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解,即(x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0有解.
令t=x-1,则上式可化为t2-1+a(et+e-t)=0,即a=1-t2et+e-t.
令h(t)=1-t2et+e-t,易得h(t)为偶函数,
又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图像与直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0,
所以a=1-02=12,故选C.
3.答案　(1,4);(1,3]∪(4,+∞)
解析　当λ=2时,函数f(x)的图像如图所示,f(x)<0的解集为(1,4).

当λ≤1时,f(x)只有1个零点为4;当1<λ≤3时,f(x)有2个零点为1和4;当3<λ≤4时,f(x)有3个零点为1,3和4;当λ>4时,f(x)有2个零点为1和3.故当1<λ≤3或λ>4时,f(x)有2个零点.
4.答案　(3,+∞)
解析　f(x)的大致图像如图所示,

若存在b∈R,使得方程f(x)=b有三个不同的根,只需4m-m20,所以m>3.
5.C　I(t*)=K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,整理可得e0.23(t*-53)=19,两边取自然对数得0.23(t*-53)=ln 19≈3,解得t*≈66,故选C.
6.B　因为R0=3.28,T=6且R0=1+rT,所以指数增长率r=R0-1T=0.38,设累计感染病例增加1倍需要的时间为t天,则I(t)=2I(0),即ert=2,即e0.38t=2,两边取自然对数得ln e0.38t=ln 2,即0.38t=ln 2,又ln 2≈0.69,所以t=ln20.38≈0.690.38≈1.8.故选B.
7.答案　①130　②15
解析　①当x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题意可知顾客需支付140-10=130元.
②设每笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况.
根据题意得(m-x)×80%≥m×70%,
解得x≤m8.因为m≥120,
所以为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,
则x≤m8min=15.
所以x的最大值为15.
三年模拟练
1.B
2.C
3.B
4.C
5.D
1.B　因为f(x)=x+2x+a的零点所在的区间为(-2,1),所以只需f(-2)·f(1)<0,
即a-2+14(a+1+2)<0,解得-3 2.C　由f(x)=0,得|log12x|=12x,作出函数y1=|log12x|和y2=12x的图像,如图所示.

由图可知,两函数图像有2个交点,所以函数有2个零点.故选C.
思想方法
本题考查函数的零点个数,利用数形结合思想、转化与化归思想,将函数的零点转化为对应方程的根,从而转化为两个函数图像的交点问题.
3.B　作出函数f(x)的图像如图所示,不妨设x1
由图像知3x1+6=a,x2+x3=6,
∴x1+x2+x3=6+a3-2=4+a3(0 ∴4 4.C　y=f(f(x))+1的零点个数,即方程f(f(x))=-1的实数根的个数,
设t=f(x),则f(t)=-1,作出f(x)的图像如图所示.

结合图像可知,方程f(t)=-1有3个实数根,分别为t1=-6,t2=-1,t3=1.
当t=-6时,方程f(x)=t有且只有1个实数根;当t=-1时,方程f(x)=t有3个不同的实数根;当t=1时,方程f(x)=t有2个不同的实数根.
故方程f(f(x))=-1有6个不同的实数根,即y=f(f(x))+1有6个零点.
故选C.
5.D　函数f(x)=-x2-2x,x≤0,|log2x|,x>0的图像如图所示:

函数y=-x2-2x的图像关于直线x=-1对称,则x1+x2=-2,故①错误;
由图像可知|log2x3|=|log2x4|,且0 当x≤0时,f(x)=-x2-2x=-(x+1)2+1≤1,
由图像可知,|log2x3|∈(0,1),则0<-log2x3<1,解得12 故选D.
6.答案　7
解析　设该公司月平均利润为t万元,则t=yx=-x2+15x-16x=-x+15-16x=15-x+16x.∵x∈N*,∴x+16x≥8,当且仅当x=16x,即x=4时,等号成立,所以当x=4时,t有最大值,此时tmax=7.
故该公司月平均利润最大是7万元.
7.答案　1
解析　由题意可知10x-9x>0,即109x>1,所以x>0,
所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f(x)=lg(ex+9x)+ln110x-9x=lg(ex+9x)-ln(10x-9x),
假设存在x0∈(0,+∞),使得f(x0)=0,
即lg(ex0+9x0)-ln(10x0-9x0)=0,
设lg(ex0+9x0)=ln(10x0-9x0)=m,
则ex0+9x0=10m,10x0-9x0=em,
所以ex0+10x0=10m+em .
易知y=ex+10x在(0,+∞)上是增函数,所以x0=m,
所以ex0+9x0=10x0,
两边同时除以10x0,得e10x0+910x0=1,即e10x0+910x0-1=0;
设g(x)=e10x+910x-1,易知g(x)=e10x+910x-1在(0,+∞)上是减函数,且g(1)=e-110>0,g(2)=e102+9102-1=e2-19100<0;
由函数零点存在性定理知,存在唯一的实数x0∈(1,2),使得e10x+910x-1=0,
即ex+9x=10x只有一个根x0,故函数f(x)只有一个零点.
8.解析　(1)设f(x)=ax(a>0,且a≠1).
∵f(x)的图像过点12,22,∴a12=22,解得a=12,
故函数f(x)的解析式为f(x)=12x.
(2)∵g(x)= f(2x)-mf(x-1)+1,
∴g(x)=122x-2m12x+1,
令t=12x,t∈(0,2),
∴y=t2-2mt+1,t∈(0,2),
函数g(x)=122x-2m12x+1在(-1,+∞)上有两个零点等价于y=t2-2mt+1在t∈(0,2)上有两个零点,
则02-2m×0+1>0,22-2m×2+1>0,Δ=(-2m)2-4×1×1>00<--2m2<2,,即1>0,m<54,m2>1,0 解得1 故实数m的取值范围为1,54.
9.解析　(1)若a<0,则f(a)=lg(-a)=1,解得a=-10;
若a≥0,则f(a)=|ea-2|=1,解得a=0或ln 3.
故a的值为0或-10或ln 3.
(2)由题可知f(x)=lg(-x),x<0,-ex+2,0≤x 作出f(x)的大致图像,如图所示:

令t=f(x),由图像可得,当0 当t>1或t=0时,方程t=f(x)有2个不同的实数根;
当t<0时,方程t=f(x)有1个实数根;
因此关于x的方程f2(x)+mf(x)+2m+1=0恰有5个实数根等价于关于t的方程t2+mt+2m+1=0有2个不相等的实数根t1,t2,不妨设t1>t2,
则t1>1,0 令h(t)=t2+mt+2m+1,
若t1>1,00,ℎ(1)<0,Δ>0,
即2m+1>0,3m+2<0,m2-8m-4>0,不等式无解;
若t1>1,t2=1,则ℎ(0)>0,ℎ(1)=0,Δ>0,
即2m+1>0,3m+2=0,m2-8m-4>0,不等式无解;
若t2=0,00,
即2m+1=0,3m+2≥0,m2-8m-4>0,
解得m=-12.
故m的取值范围是-12.
方法总结
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法:
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,利用数形结合的方法求解.
10.解析　(1)对A企业投资300万元,则对B企业投资200万元,
∴f(300)=P(300)+Q(200)=120+33×300+14×200+160
=120+90+50+160=420(万元).
(2)设对A企业投资x万元,则对B企业投资(500-x)万元.
∵每个企业至少投资50万元,
∴x≥50,500-x≥50,解得50≤x≤450,
∴f(x)=P(x)+Q(500-x)=120+33x+14(500-x)+160
=-14x+33x+405(50≤x≤450).
令x=t,则52≤t≤152,上式可化为
y=-14t2+33t+405=-14(t-63)2+432,
∴当t=63时,y取最大值,即x=108时,
f(x)取最大值,最大值为432万元.
综上,对A企业投资108万元,对B企业投资392万元时总收益最大,最大收益为432万元.
易错警示
解决有关函数模型的应用题,有以下几点容易造成失分:①读不懂实际背景,不能将实际问题转化为函数模型;②对涉及的相关公式,记忆错误;③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法,才能快速正确求解.含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值,分段后再各段讨论最值的情况.
11.信息提取　①P(x)=1+kx(k为正实数),Q(x)与x的部分数据如题表所示;②第10天该商品的日销售收入为121元;③从Q(x)=ax+b,Q(x)=a|x-25|+b中选择一种较合适的拟合函数,并求日销售收入的最小值.
数学建模　本题以销售问题为背景,建立函数模型,利用拟合函数知识来解决实际问题.
解析　(1)由题意得,第10天该商品的日销售收入为P(10)·Q(10)=1+k10×110=121,解得k=1.
根据题设列出方程求解,体现了方程思想.(2)由题表中的数据知,当时间变化时,该商品的日销售量有增有减并不单调,故只能选②Q(x)=a|x-25|+b,
根据函数值的变化趋势选择恰当的拟合函数.由题表中数据可得Q(10)=110,Q(20)=120,将其代入Q(x)=a|x-25|+b,
得15a+b=110,5a+b=120,解得a=-1,b=125,
所以Q(x)=125-|x-25|(1≤x≤30,x∈N+).
(3)由(2)知,Q(x)=125-|x-25|=100+x,1≤x≤25,x∈N+,150-x,25 所以f(x)=P(x)·Q(x)=x+100x+101,1≤x≤25,x∈N+,150x-x+149,25 构建分段函数模型,体现了函数思想.
当1≤x≤25时,y=x+100x在[1,10]上单调递减,在[10,25]上单调递增,
所以当x=10时,f(x)取得最小值,f(x)min=121;
当25 所以当x=30时,f(x)取得最小值,f(x)min=124.
综上所述,当x=10时,f(x)取得最小值,
f(x)min=121,
利用函数的单调性求最值.
所以该商品的日销售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N+)的最小值为121.
解题模板
当题目中的函数类型不确定时,可由题中的数据在平面直角坐标系中描点,根据点的分布情况判断函数模型,也可结合表格中的数据分析函数值的变化快慢,从而判断函数模型,然后求出函数模型并且检验函数模型的拟合程度,最后解答实际问题.