北师大版必修15.3对数函数的图像和性质复习练习题

对数函数的图像和性质

[A组　学业达标]

1．函数y＝x＋a与y＝logax的图像只可能是(　　)

解析：当a＞1时，y＝logax为增函数，且y＝x＋a在y轴上的点的纵坐标a应大于1，故排除B、D.当0＜a＜1时，y＝logax为减函数且y＝x＋a在y轴上的点的纵坐标a应在(0,1)之间，故选C.

答案：C

2．函数y＝loga(2x－1)恒过定点(　　)

A．(1,0)     B．(0,1)       C．(2,1)  D．(1,2)

解析：由y＝logax恒过定点(1,0)可知，当2x－1＝1，即x＝1时，y＝0，即函数y＝loga(2x－1)恒过定点(1,0)．

答案：A

3．如图是对数函数y＝logax的图像，已知a值取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a的值依次是(　　)

A.，，，   B.，，，

C.，，，   D.，，，

解析：∵当a＞1时，图像上升；当0＜a＜1时，图像下降，又当a＞1时，a越大，图像向右越靠近x轴；0＜a＜1时，a越小，图像向右越靠近x轴，C1，C2，C3，C4的a的值依次是，，，.

答案：B

4．设则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c  B．c＜b＜a

C．b＜a＜c  D．b＜c＜a

解析：a＝

c＝log3.

而y＝log3x是(0，＋∞)上的增函数，且 ＜＜2.

∴log3＜log3＜log32，即c＜b＜a.

答案：B

5．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上为减函数，则a的取值范围为(　　)

A．(0,1)  B．(1,2) 

C．(0,2)  D．[2，＋∞)

解析：由题设知a＞0，

则t＝2－ax在[0,1]上是减函数．

又y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，

∴y＝logat是增函数，且tmin＞0.

因此∴1＜a＜2.

答案：B

6．函数f(x)＝－5loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．

解析：令x－1＝1，得x＝2.∵f(2)＝2，

∴f(x)的图像恒过定点(2,2)．

答案：(2,2)

7．对数函数f(x)的图像过点P(8,3)，则f＝________.

解析：设f(x)＝logax，则loga8＝3，

∴a3＝8，∴a＝2.

∴f(x)＝log2x，故f＝log2＝－1.

答案：－1

8．若a＝log0.20.3，b＝log26，c＝log0.24，则a，b，c的大小关系为________．

解析：因为f(x)＝log0.2x在定义域上为减函数，且0.2＜0.3＜1＜4，则log0.20.2＞log0.20.3＞log0.21＞log0.24，即1＞a＞0＞c.

同理log26＞log22＝1，可知结果．

答案：b＞a＞c

9．已知函数f(x)＝lg(x－1)．

(1)求函数f(x)的定义域和值域；

(2)证明f(x)在定义域上是增函数．

解析：(1)要使函数有意义，则x－1＞0，解得x＞1，

即函数f(x)的定义域是(1，＋∞)．

由于函数f(x)的定义域是(1，＋∞)，则有u＝x－1的值域是(0，＋∞)，那么函数f(x)的值域是R.

(2)证明：设x1，x2为(1，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，则有f(x1)－f(x2)＝lg(x1－1)－lg(x2－1)＝lg.

∵1＜x1＜x2，∴0＜x1－1＜x2－1.

∴0＜＜1.

又当0＜x＜1时，y＝lg x＜0，∴lg＜0.

∴f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在定义域上是增函数．

10．已知函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋1)，g(x)＝log(x2－4x－5)．

(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；

(3)求函数g(x)的递减区间．

解析：(1)若f(x)的定义域为R，则y＝ax2＋2x＋1的图像恒在x轴的上方，

∴∴a＞1.

(2)若f(x)的值域为R，则y＝ax2＋2x＋1的图像一定要与x轴有交点，

∴a＝0或∴0≤a≤1.

(3)函数g(x)的定义域为{x|x＜－1或x＞5}，

由复合函数单调性的“同增异减”法则可知函数g(x)的单调递减区间为(5，＋∞)．

[B组　能力提升]

11．若函数f(x)＝a－x(a＞0，a≠1)是定义域为R的增函数，则函数g(x)＝loga(x＋1)的图像大致是(　　)

解析：因为函数f(x)＝a－x是定义域为R的增函数，所以0＜a＜1.另外g(x)＝loga(x＋1)的图像是由函数h(x)＝logax的图像向左平移1个单位长度得到的，故选D.

答案：D

12．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(　　)

A．b＜a＜c  B．c＜a＜b

C．c＜b＜a  D．a＜c＜b

解析：∵log33＜log37＜log39，∴1＜a＜2；∵21.1＞21，∴b＞2；∵0＜0.83.1＜0.80，∴0＜c＜1，故c＜a＜b.

答案：B

13．设函数f(x)是定义在R上的奇函数．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)＞0的x的取值范围是________．

解析：由已知条件可得函数f(x)的解析式为

f(x)＝其图像如图所示：

由函数图像可得不等式f(x)＞0时，

x的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)．

答案：(－1,0)∪(1，＋∞)

14．已知函数f(x)＝直线y＝a与函数f(x)的图像恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．

解析：函数f(x)的图像如图所示，要使y＝a与f(x)有两个不同交点，则0＜a≤1.

答案：(0,1]

15．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出图形．

解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.

又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)．

∴f(－x)＝lg(1－x)．

又f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)＝－lg(1－x)，

∴f(x)的解析式为

f(x)＝

∴f(x)的图像如图所示：

16．已知logn5＞logm5，画出满足不等式的所有草图，并确定m和n的大小关系．

解析：令y1＝lognx，y2＝logmx，由于logn5＞logm5，它们的图像可能有如下三种情况

由对数函数在第一象限的图像规律知

(1)m＞n＞1.

(2)0＜n＜m＜1.

(3)n＞1,0＜m＜1，即0＜m＜1＜n.