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    高中数学北师大版必修二 直线与圆锥曲线的位置关系(二) 课时作业 练习

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    高中2.3直线与圆、圆与圆的位置关系随堂练习题

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    这是一份高中2.3直线与圆、圆与圆的位置关系随堂练习题,共14页。试卷主要包含了已知点A,直线l,即y=2x,已知圆O等内容,欢迎下载使用。
    一、选择题1.已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,R是直线l上的一点,=,则点P的轨迹方程为( B )(A)y=-2x     (B)y=2x(C)y=2x-8  (D)y=2x+4解析:P(x,y),R(x1,y1),=,A是线段RP的中点,所以因为点R是直线l上的点,所以-y=2(2-x)-4.y=2x.故选B.2.已知圆O:x2+y2=4,从这个圆上任意一点Py轴作垂线段PP1(P1y轴上),M在直线PP1,=2,则动点M的轨迹方程是( D )(A)4x2+16y2=1 (B)16x2+4y2=1(C)+=1     (D)+=1解析:由题意可知PMP1的中点,M(x,y),P(x0,y0),P1(0,y0),+=4,()2+y2=4,+=1.故选D.3.已知两点M(-2,0),N(2,0),P为平面内的动点,满足||·||+·=0,则动点P(x,y)的轨迹方程是( B )(A)y2=8x (B)y2=-8x(C)y2=4x (D)y2=-4x解析:根据||·||+·=0,4+4(x-2)=0,化简得y2=-8x.故选B.4.已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)(c,0),ca,m的等比中项,n22m2c2的等差中项,则椭圆的离心率是( D )(A) (B) (C) (D)解析:由椭圆和双曲线有相同的焦点,可得a2-b2=m2+n2=c2,ca,m的等比中项,可得c2=am;n22m2c2的等差中项,可得2n2=2m2+c2.可得m=,n2=+c2,即有+c2=c2,化简可得,a2=4c2,即有e==.故选D.5.a,b是关于t的方程t2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为( A )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:关于t的方程t2cos θ+tsin θ=0有两个不等实根为t1=0,t2=-tan θ(tan θ≠0),则过A,B两点的直线方程为y=   -xtan θ,双曲线-=1的渐近线为y=±xtan θ,所以直线y=-xtan θ与双曲线没有公共点.故选A.6.动点P为椭圆+=1(a>b>0)上异于椭圆顶点A(a,0),B(-a,0)的一点,F1,F2为椭圆的两个焦点,动圆M与线段F1P,F1F2的延长线及线段PF2相切,则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的点的( D )(A)抛物线 (B)椭圆(C)双曲线的右支 (D)一条直线解析:如图,设切点分别为E,G,D,由切线长相等可得|F1E|=|F1G|,|F2D|=|F2G|,|PD|=|PE|.由椭圆的定义可得 |F1P|+|PF2|=|F1P|+|PD|+|DF2|=|F1E|+|DF2|=2a,|F1E|+|GF2|=2a,也即|F1G|+|GF2|=2a,故点G与点A重合,所以点M的横坐标是x=a,即点M的轨迹是一条直线(除去A),故选D.7.如图所示,在平面直角坐标系xOy,A(1,0),B(1,1),C(0,1),映射fxOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uOv上的点P(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线ABC运动时,在映射f的作用下,动点P的轨迹是( D )解析:P沿AB运动时,x=1,P(x,y),(0y1),y=1-(0x′≤2,0y′≤1).P沿BC运动时,y=1,(0x1),所以y=-1(0x′≤2,-1y′≤0),由此可知P的轨迹如D所示,故选D.二、填空题8.已知ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为       . 解析:A(x,y),D(,),所以|CD|==3,化简得(x-10)2+y2=36,由于A,B,C三点构成三角形,所以A不能落在x轴上,y0.答案:(x-10)2+y2=36(y0)9.已知O的方程是x2+y2-2=0,O的方程是x2+y2-8x+10=0,若由动点POO所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程是    . 解析:P(x,y),切点分别为A,B,O的方程为(x-4)2+y2=6及已知|AP|=|BP|,|OP|2-|AO|2=|OP|2-|OB|2,|OP|2-2=|OP|2-6,所以x2+y2-2=(x-4)2+y2-6.所以x=,故动点P的轨迹方程是x=.答案:x=10.P是圆C:(x+2)2+y2=4上的动点,定点F(2,0),线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q,则点Q的轨迹方程是    . 解析:如图,由题意知|QP|=|QF|.|QP|=|QC|±|CP|,所以|QF|-|QC|=±|CP|,||QF|-|QC||=|CP|=2,所以点Q的轨迹是以F,C为焦点,实轴长为2的双曲线,其方程为x2-=1.答案:x2-=111.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,PC,|PF1|=2|PF2|,cos F1PF2=   . 解析:因为a=b=,所以c=2.|PF1|=4,|PF2|=2,由余弦定理得cos F1PF2==.答案:12.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆的离心率的取值范围为    . 解析:如图,e=====-1,所以|PF2|=.又因为a-c<|PF2|<a+c,所以a-c<<a+c,解得<-1-(舍去)>-1,e>-1.又因为0<e<1,所以-1<e<1.答案:(-1,1)13.若抛物线y=x2上存在两点关于直线l:y=m(x-3)对称,m的取值范围为    . 解析:法一(联立方程)A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上关于l对称的两个点,设线段AB的中点为P(x0,y0),又直线l与直线AB垂直,故可设直线AB的方程为y=-x+n,将其代入y=x2mx2+x-mn=0.因为x1,x2是该方程的两个根,x0=(x1+x2)=-,又点P在直线l,所以y0=m(x0-3)=m(--3)=-3m-,又因为点P在抛物线内,所以<y0,<-3m-,也就是12m3+2m2+1<0,(2m+1)(6m2-2m+1)<0,6m2-2m+1>0恒成立,所以m<-.法二 (点差法)显然m0,A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上关于l对称的两个点,设线段AB的中点为 P(x0,y0),kAB===x1+x2=2x0,又直线l与直线AB垂直,所以2x0=-,x0=-,下同法一略.答案(-,-)  三、解答题14.已知椭圆C:+=1,A(3,0),P是椭圆C上的动点.(1)若直线AP与椭圆C相切,求点P的坐标;(2)Py轴的右侧,AP为底边的等腰ABP的顶点By轴上,求四边形OPAB面积的最小值.:(1)设直线AP的方程为x=my+3,联立消去x可得(m2+3)y2+6my+3=0,Δ=12(2m2-3)=0,解得m=±,从而y2±3y+3=0,解得y=±,x=2.所以,P的坐标为(2,±).(2)设线段AP的中点为D.因为ABP是以AP为底边的等腰三角形,BDAP.由题意,P(x0,y0)(-<y0<),则点D的坐标为(,),且直线AP的斜率kAP=,故直线BD的斜率为-=,从而直线BD的方程为y-=(x-).+=1,x=0,y=,化简得B(0,).所以,四边形OPAB的面积S四边形OPAB=SOAP+SOAB=×3×|y0|+×3×||=(|y0|+||)=(2|y0|+)×2=3.当且仅当y0=±[-,]时等号成立.所以,四边形OPAB面积的最小值为3.巩固提高B一、选择题1.已知ABC,A,B的坐标分别为(0,2)(0,-2),若三角形的周长为10,则顶点C的轨迹方程是( C )(A)+=1(y0)  (B)+=1(y0)(C)+=1(x0)  (D)+=1(x0)解析:由题|AB|=4,|CA|+|CB|=6,6>|AB|,所以C点轨迹是以A,B为焦点,6为长轴长,4为焦距的椭圆,去掉长轴端点,故选C.2.已知椭圆x2+my2=1的离心率e(,1),则实数m的取值范围是( C )(A)(0,)          (B)(,+)(C)(0,)(,+) (D)(,1)(1,)解析:椭圆标准方程为x2+=1.m>1,e2=1-(,1),解得m>;0<m<1,e2==1-m(,1),解得0<m<,故实数m的取值范围是(0,)(,+).故选C.3.若抛物线y2=4x的焦点是F,准线是l,M(4,m)是抛物线上一点,则经过点F,M且与l相切的圆共( D )(A)0 (B)1 (C)2 (D)4解析:因为F(1,0),m2=4×4,所以m=±4,所以MF中垂线方程为6x±8y-31=0,与抛物线有四个交点,所以满足条件的圆有四个.故选D.4.若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C好曲线.以下曲线不是好曲线的是( B )(A)x+y=5  (B)x2+y2=9(C)+=1  (D)x2=16y解析:因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线,方程为-=1.A,直线x+y=5过点(5,0),(0,5),故直线与M的轨迹有交点,满足  题意;B,x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,M的轨迹没有交点,不满足题意;C,+=1的右顶点为(5,0),故椭圆+=1M的轨迹有交点,满足题意;D,方程代入-=1,可得y-=1,y2-9y+9=0,Δ>0即有交点,满足题意.5.已知ABP的顶点A,B分别为双曲线-=1的左、右焦点,顶点P在双曲线上,的值等于( A )(A) (B) (C) (D)解析:ABP,由正弦定理得===.故选A.6.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,F1的直线与双曲线的两支分别交于点P,Q,PQF2为等边三角形,则双曲线C的离心率为( A )(A)   (B)   (C)   (D)7解析:|PF1|=n,|PQ|=|QF2|=|PF2|=m,根据双曲线的定义有n=2a, m=4a,在三角形PF1F2,F1PF2=,由余弦定理得4c2=(2a)2+(4a)2- 2·2a·4a·cos,化简得e2=7,e=.故选A.7.将双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫作双曲线的黄金三角形,则双曲线C:x2-y2=4黄金三角形的面积是( B )(A)-1 (B)2-2(C)1   (D)2解析:x2-y2=4,-=1,a2=b2=4,所以a=2,b=2,c=2,则双曲线的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别为(2,0),(2,0),(0,2),故所求黄金三角形的面积S=×(2-2)×2=2-2.故选B.8.过抛物线y2=x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,且直线l的倾斜角θ≥,Ax轴上方,|FA|的取值范围是( D )(A)(,1)   (B)(,+)(C)(,+) (D)(,1+]解析:记点A的横坐标是x1,则有|AF|=x1+=(+|AF|cos θ)+= +|AF|cos θ,|AF|(1-cos θ)=,|AF|=.≤θ<π-1<cos θ≤,2-2(1-cos θ)<4,<=1+,|AF|的取值范围是(,1+).故选D.二、填空题9.已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过F1作直线MF1是圆F2的切线,则椭圆的离心率等于   . 解析:由题意知F1MF2=90°,|MF2|=c,|F1F2|=2c,所以MF1F2=30°.因为|MF1|+|MF2|=2a,所以|MF1|=2a-|MF2|=2a-c,所以2a-c=c,所以==-1,即离心率e=-1.答案:-110.F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,PC上一点,|PF1|+|PF2|=6a,PF1F2的最小内角为30°,C的离心率等于   . 解析:不妨设点P在双曲线右支上,|PF1|-|PF2|=2a.|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.c>a,所以在PF1F2,PF1F2为最小内角,PF1F2=30°.PF1F2,由余弦定理得(2a)2=(4a)2+(2c)2-2×4a×2c·cos 30°,c2-2ac+3a2=0,两边同除以a2,e2-2e+3=0,解得e=.答案:11.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若双曲线C的离心率为2,AOB的面积为,AOB的内切圆半径为   . 解析:e====2,可得=.解得A(-,),B(-,-),所以=××=.=代入,p2=4,解得p=2.所以A(-1,),B(-1,-),AOB的三边长分别为2,2,2,AOB的内切圆半径为r,(2+2+2)r=,解得r=2-3.答案:2-312.已知抛物线C:y2=4x,直线l与抛物线C交于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(2,2),则直线l的方程为   . 解析:A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在抛物线上,所以=4x1,=4x2,两式作差得-=4(x1-x2),所以直线AB的斜率k====1,直线l的方程为y-2=x-2x-y=0.答案:x-y=013.已知ABC的顶点A,B坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足sin B+sin A=sin C,C点的轨迹方程为    .  解析:sin B+sin A=sin C可知b+a=c=10,|AC|+|BC|=10>8=|AB|,所以满足椭圆定义.令椭圆方程为+=1,a=5,c=4,b=3,则轨迹方程为+=1(x±5).答案:+=1(x±5)14.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,则当|AF|+4|BF|取得最小值时,直线AB的倾斜角的正弦值为    . 解析:由题意知F(1,0),当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1)(k0),消去y,k2x2-(2k2+4)x+k2=0.A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,x2>0,x1+x2=,x1x2=1,+=+===1.当直线的斜率不存在时,易知|AF|=|BF|=2,+=1.|AF|=a,|BF|=b,+=1,所以|AF|+4|BF|=a+4b=(+)(a+4b)=5++9,当且仅当a=2b时取 等号,a+4b的最小值为9,此时直线的斜率存在,x1+1=2(x2+1),联立①②③,x1=2,x2=,k=±2,故直线AB的倾斜角的正弦值为.答案:三、解答题15.已知两个不同的动点A,B在椭圆+=1,且线段AB的垂直平分线恒过点P(0,-1).:(1)线段AB中点M的轨迹方程;(2)线段AB长度的最大值.:(1)法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),易知直线AB的斜率   存在,设直线AB的方程为y=kx+m,+=1联立得(2+k2)x2+2kmx+m2-8=0,x0==-,y0=kx0+m=,所以,kMP===-,m=-(2+k2).于是,y0==-2.从而,线段AB中点M的轨迹方程为y=-2(-<x<).法二 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)易知直线AB的斜率存在.+=1,+=1,+=0,=-,·=-1,y0=-2.从而,线段AB中点M的轨迹方程为y=-2(-<x<).(2)(1),直线AB的斜率k=x0,所以直线AB的方程为y+2=x0(x-x0)与椭圆方程联立(+2)x2-2x0(+2)x++4-4=0,x1+x2=2x0,x1x2=,于是,|AB|=|x1-x2|==22,x0=0时取等号,线段AB长度的最大值为2.16.(2018·镇海5)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),P(1,)在椭圆上,离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2.(1)求椭圆C的方程;(2)直线y=kx(k>0)与椭圆C交于A,B,连接AF1,BF1并延长交椭圆CD,E,连接DE,kDEk之间的函数关系式.:(1)P(1,)在椭圆上,可得+=1,a=c,a2=b2+c2,可得a=,b=1,c=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)A(x0,y0),B(-x0,-y0),直线AD:x=y-1,代入C:+y2=1,[(x0+1)2+2]y2-2(x0+1)y0y-=0,因为+=1,代入化简得(2x0+3)y2-2(x0+1)y0y-=0,D(x1,y1),E(x2,y2),y0y1=,所以y1=,x1=y1-1,直线BE:x=y-1,同理可得y2=,x2=y2-1,所以kDE======3·=3k.   

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