高中数学北师大版必修35.1估计总体的分布达标测试

第一章　统计

7　相关性

8　最小二乘估计

[课时作业]

[A组　基础巩固]

1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是(　　)

A．瑞雪兆丰年

B．读书破万卷，下笔如有神

C．吸烟有害健康

D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧

答案：D

2．已知变量x与y线性相关，且由观测数据算得样本平均数分别为＝4，＝3，则由该观测数据算得的线性回归方程不可能是(　　)

A．y＝0.2x＋2.2　　　B．y＝0.3x＋1.8

C．y＝0.4x＋1.4  D．y＝0.5x＋1.2

解析：由最小二乘法原理可知样本点的中心(4，3)在回归直线上．

对于A，当x＝4时，y＝0.8＋2.2＝3；

对于B，当x＝4时，y＝1.2＋1.8＝3；

对于C，当x＝4时，y＝1.6＋1.4＝3；

对于D，当x＝4时，y＝2＋1.2＝3.2≠3.

故选D.

答案：D

3．实验测得四组(x，y)的值为(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，则y与x之间的回归直线方程为(　　)

A．y＝x＋1  B．y＝x＋2

C．y＝2x＋1  D．y＝x－1

答案：A

4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：

则y对x的线性回归方程为(　　)

A．y＝x－1  B．y＝x＋1

C．y＝88＋x  D．y＝176

答案：C

5．下面各组变量之间具有相关关系的是________(填上所有正确答案的序号)．

①高原含氧量与海拔高度；

②速度一定时，汽车行驶的路程和所用的时间；

③学生的成绩和学生的学号；

④父母的身高和子女的身高．

解析：依据相关关系的定义依次判断即可．

答案：①④

6．若对某个地区人均工资x与该地区人均消费y进行调查统计得y与x具有相关关系，且线性回归方程y＝0.7x＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．

解析：设该地区人均消费为，

则＝0.7＋2.1，

当＝10.5时，＝＝12.

×100%＝87.5%.

答案：87.5%

7．若直线y＝a＋bx是四组数据(1，3)，(2，5)，(3，7)，(4，9)的回归直线方程，则a与b的关系为________．

解析：因为＝(1＋2＋3＋4)＝，

＝(3＋5＋7＋9)＝6，

因为＝a＋b，所以6＝a＋b.所以2a＋5b＝12.

答案：2a＋5b＝12

8．某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表：

根据表格已得回归方程为y＝9.4x＋9.1，表中有一数据模糊不清，推算该数据的值为________．

解析：设模糊不清的数据的值为a，

依题意知，＝3.5.

∵回归直线恒过样本点的中心(，)，

∴＝3.5×9.4＋9.1＝42.

∴42＝×(26＋a＋49＋56)，

∴a＝37.

答案：37

9．有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害，下表给出了不同类型的某种食品的数据．第二行表示此种食品所含热量的百分比，第三行数据表示由一一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价：

(1)作出散点图；

(2)你能从散点图中发现两者之间的近似关系吗？

(3)如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系；

(4)对于食品，为什么人们更喜欢吃位于直线上方的食品而不是下方的？

解析：(1)散点图如图所示．

(2)从图看基本近似成线性相关关系．

(3)直线如图所示．

(4)因为当直线上方的食品和下方的食品所含热量相同时，直线上方的食品口味更好．

10．在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y(单位：μm)与腐蚀时间x(单位：s)之间相应的一组观察值如下表：

(1)画出散点图；

(2)从散点图中发现腐蚀深度与腐蚀时间之间关系的一般规律；

(3)求线性回归方程；

(4)估计腐蚀时间为100 s时的腐蚀深度．

解析：(1)散点图如图所示．

(2)由图可知，各点散布在从左下角到右上角的区域里，因此，腐蚀深度随腐蚀时间的增加而增加，即腐蚀时间越长，腐蚀深度越深．

(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，两变量呈线性相关关系．利用计算器求得线性回归方程为y＝0.304x＋5.36.

(4)由(3)知，当腐蚀时间为100 s时，y＝0.304×100＋5.36＝35.76(μm)，即此时腐蚀深度约是35.76 μm.

[B组　能力提升]

1．以下说法正确的个数为(　　)

①若散点图中的绝大多数点都分布在一条直线附近，则两变量线性相关，个别特殊点不影响其线性相关关系；

②若已知回归直线方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；

③回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．

A．0　　　　 B．1　　　　

C．2　　　　 D．3

解析：将x＝25代入y＝0.50x－0.81，解得y＝11.69，故②正确；①③明显正确．故选D.

答案：D

2．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品的销售额y的有关数据如下表：

根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间的线性回归方程y＝bx＋a的系数b＝－2.4.则预测平均气温为－8 ℃时，该商品的销售额为(　　)

A．34.6万元  B．35.6万元

C．36.6万元  D．37.6万元

解析：由已知，得＝＝－4，

＝＝25，

所以a＝－b＝25＋2.4×(－4)＝15.4，即线性回归方程为y＝－2.4x＋15.4，

当x＝－8时，y＝34.6，故选A.

答案：A

3．对某台机器购买后的运营年限x(x＝1，2，3，…)与当年利润y的统计分析知两者具有线性相关关系，回归方程为y＝10.47－1.3x，则估计该台机器使用________年最合算．

解析：令y≥0，

即10.47－1.3x≥0，得x≤≈8，

所以估计该台机器使用8年最合算．

答案：8

4．20世纪初的一项关于16艘轮船的研究显示，轮船的吨位从192～3 246吨，船员的数目从5～32人，对船员人数关于轮船的吨位数的回归分析得：船员人数＝9.5＋0.006 2×轮船吨位(不足1人的舍去)．

(1)假设两轮船吨位相差1 000吨，船员人数平均相差多少？

(2)对于最小的轮船估计的船员人数是多少？对于最大的轮船估计的船员人数是多少？

解析：(1)由y＝9.5＋0.006 2x可知，当x1与x2相差1 000吨且x1>x2时，船员平均人数相差为y1－y2＝(9.5＋0.006 2x1)－(9.5＋0.006 2x2)＝0.006 2×1 000≈6(人)．

(2)当取最小吨位192时，预计船员人数为y＝9.5＋0.006 2×192≈10(人)．

当取最大吨位3 246时，预计船员人数为y＝9.5＋0.006 2×3 246≈29(人)．

5．某农科所对冬季昼夜温差与某反季节大豆种子发芽多少之间的关系进行分析研究，他们记录了12月1日至5日的昼夜温差与每天100颗种子的发芽数，数据如下表：

该农科所确定的研究方案是：先从五组数据中选取两组，用剩下的三组数据求回归方程，再用被选取的两组数据进行检验．

(1)若先选取的是12月1日和5日的数据，请根据2日至4日的三组数据，求y关于x的回归方程y＝bx＋a；

(2)若由回归方程得到的估计数据与检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的回归方程是可靠的，试判断(1)中所得的线性回归方程是否可靠，说明理由．

解析：(1)由已知数据，求得＝12，＝27，

由公式b＝，

求得b＝2.5，

再由公式a＝－b得a＝－3，

所以y关于x的回归方程为y＝2.5x－3.

(2)当x＝10时，y＝2.5×10－3＝22，

|22－23|＜2，

同样，当x＝8时，y＝2.5×8－3＝17，

|17－16|＜2.

所以(1)中得到的线性回归方程是可靠的．