高中北师大版2.1古典概型的特征和概率计算公式当堂检测题

十九　古典概型的特征和概率计算公式

(20分钟·35分)

1.下列是古典概型的是 (　　)

A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件

B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为基本事件

C.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率

D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止

【解析】选C.A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不是;B项中的基本事件是无限的,故B不是;C项中满足古典概型的有限性和等可能性,故C是;D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性,故D不是.

2.某部三册的小说,任意排放在书架的同一层上,则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为              (　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【解析】选B.所有基本事件为:123,132,213,231,312,321.其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个基本事件,所以P==.

3.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为              (　　)

A.  B.   C.  D.

【解析】选D.依题意,记两次抽得卡片上的数字依次为a,b,则一共有25个不同的数组(a,b),其中满足a>b的数组共有10个,分别为(2,1),(3,1),(3,2),

(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),因此所求的概率为=.

4.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是________. 

【解析】由题意得,a,b有(2,3),(2,8),(2,9),(3,8),(3,9),(8,9),(3,2),(8,2),(9,2),(8,3),(9,3),

(9,8),共12种取法.若满足logab为整数,则仅有a=2,b=8和a=3,b=9两种情况,

所以logab为整数的概率为=.

答案:

5.下列随机事件:

①某射手射击一次,可能命中0环,1环,2环,…,10环;

②一个小组有男生5人,女生3人,从中任选1人进行活动汇报;

③一只使用中的灯泡寿命长短;

④抛出一枚质地均匀的硬币,观察其出现正面或反面的情况;

⑤中秋节前夕,某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量,给该品牌月饼评“优”或“差”.

这些事件中,属于古典概型的有________. 

【解析】

答案:②④

6.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖(所有的球除颜色外都相同).

(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果;

(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.

【解析】(1)所有可能的摸出结果是(A1,a1),(A1,a2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a1),

(A2,a2),(A2,b1),(A2,b2),(B,a1),(B,a2),(B,b1),(B,b2).

(2)不正确.理由如下:

由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为(A1,a1),(A1,a2),(A2,a1),(A2,a2),共4种,所以中奖的概率为=,不中奖的概率为1-=>.故这种说法不正确.

(30分钟·60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球,现有放回地摸球,规定每次只能摸一个球,若第一次摸到的球的编号为x,第二次摸到的球的编号为y,构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中满足xy=4的概率为              (　　)

A.　　　 B.　　　  C.　　 　D.

【解析】选A.由题意可知两次摸球得到的所有数对(x,y)有:(1,1),(1,2),

(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),

(4,2),(4,3),(4,4),共16个,其中满足xy=4的数对有(1,4),(2,2),(4,1),共3个.故所求事件的概率为.

2.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金”,从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选C.从五种不同属性的物质中随机抽取两种,出现的情况有:(金,木),(金,水),(金,火),(金,土),(木,水),(木,火),(木,土),(水,火),(水,土),(火,土)共10种等可能情况,其中金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,即相克的有5种,则不相克的也是5种,所以抽取的两种物质不相克的概率为.

3.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于              (　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【解析】选B.袋中的1个红球、2个白球和3个黑球分别记为a,b1,b2,c1,c2,c3.

从袋中任取两球有{a,b1},{a,b2},{a,c1},{a,c2},{a,c3},{b1,b2},{b1,c1},

{b1,c2},{b1,c3},{b2,c1},{b2,c2},{b2,c3},{c1,c2},{c1,c3},{c2,c3},共15个基本事件.

其中满足两球颜色为一白一黑的有{b1,c1},{b1,c2},{b1,c3},{b2,c1},{b2,c2},

{b2,c3},共6个基本事件.

所以所求事件的概率为=.

4.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为

(　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选A.甲、乙所猜数字的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16种情况,其中满足|a-b|≤1的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),

(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共10种情况,故所求概率为=.

5.在5瓶饮料中,有2瓶已过了保质期,从中任取2瓶,取到的全是已过保质期的饮料的概率为              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选C.设过保质期的2瓶记为a,b,没过保质期的3瓶用1,2,3表示,试验的结果为:

(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b)共10种结果,2瓶都过保质期的结果只有1个,所以P=.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率为________. 

【解析】基本事件为甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6个,其中甲站在中间的为乙甲丙、丙甲乙,共2个,所以甲站在中间的概率为=.

答案:

7.某汽车站每天均有3辆开往省城的分上、中、下等级的客车.某天王先生准备在该汽车站乘车去省城办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先不上第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆,那么他乘上上等车的概率为________. 

【解析】共有6种发车顺序:①上、中、下;②上、下、中;③中、上、下;④中、下、上;⑤下、中、上;⑥下、上、中(其中画线的表示王先生所乘的车),所以他乘上上等车的概率P==.

答案:

8.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________. 

【解析】2本不同的数学书用a1,a2表示,语文书用b表示,则共有(a1,a2,b),

(a1,b,a2),(a2,a1,b),(a2,b,a1),(b,a1,a2),(b,a2,a1)6种不同的排法.其中两本数学书相邻的情况有4种,故所求概率P==.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.甲、乙两人参加法律知识竞答,共有10道不同的题目,其中选择题6道,判断题4道,甲、乙两人依次各抽一道题.

(1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少?

(2)甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少?

【解析】甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题,先抽的有10种抽法,后抽的有9种抽法,故所有可能的抽法是10×9=90种,即基本事件总数是90.

(1)记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件A,下面求事件A包含的基本事件数:

甲抽到选择题有6种抽法,乙抽到判断题有4种抽法,所以事件A的基本事件数为6×4=24.P(A)==.

(2)先考虑问题的对立面:“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”,即都抽到判断题.

记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B,“至少一个人抽到选择题”为事件C,则B包含的基本事件数为4×3=12.所以由古典概型概率公式得P(B)==,所以P(C)=1-P(B)=1-=.

10.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:

①若xy≤3,则奖励玩具一个;

②若xy≥8,则奖励水杯一个;

③其余情况奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.

(1)求小亮获得玩具的概率;

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.

【解析】用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本事件总数n=16.

(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件数共5个,即(1,1),(1,2),

(1,3),(2,1),(3,1).

所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.

(2)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C.则事件B包含的基本事件数共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)==.

事件C包含的基本事件数共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=.因为>,

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

1.连续抛掷质地均匀的骰子两次,得到的点数分别记为a和b,则使直线3x-4y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=4相切的概率为              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选D.连续抛掷质地均匀的骰子两次的所有试验结果有36种,要使直线3x-4y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=4相切,则应满足=2,即满足|3a-4b|=10,符合题意的(a,b)有(6,2),(2,4),一共2个.所以由古典概型得所求概率为=.

2.甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数则甲赢,否则乙赢.

(1)若以A表示事件“和为6”,求P(A);

(2)若以B表示事件“和大于4而小于9”,求P(B);

(3)这种游戏公平吗?试说明理由.

【解析】将所有可能情况列表如下:

由上表可知,该试验共包括25个等可能发生的基本事件,属于古典概型.

(1)“和为6”的结果有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5种结果,故所求的概率为=.

(2)“和大于4而小于9”包含了(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),

(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),共16个基本事件,所以P(B)=.

(3)这种游戏不公平.因为“和为偶数”包括13个基本事件,即甲赢的概率为,乙赢的概率为=,所以不公平.

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