高中数学北师大版必修32.3互斥事件达标测试

二十二　互斥事件习题课

(20分钟·35分)

1.事件A与B是对立事件,且P(A)=0.6,则P(B)等于 (　　)

A.0.4   B.0.5   C.0.6   D.1

【解析】选A.P(B)=1-P(A)=1-0.6=0.4.

2.小明说:“本周我至少做完三套练习题.”设小明所说的事件为A,则A的对立事件为              (　　)

A.至多做完三套练习题  B.至多做完二套练习题

C.至多做完四套练习题  D.至少做完三套练习题

【解析】选B.至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6…套练习题,故它的对立事件为做完0,1,2套练习题,即至多做完2套练习题.

3.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为              (　　)

A.       B.

C.        D.1

【解析】选B.设“恰有一名女生当选”为事件A,“恰有两名女生当选”为事件B,显然A,B为互斥事件,从10名同学中任选2人共有10×9÷2=45种选法(即45个基本事件),而事件A包括21个基本事件,事件B包括3×2÷2=3个基本事件,故所求概率P=P(A)+P(B)=+=.

4.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选D.记3个红球分别为a1,a2,a3,2个白球分别为b1,b2.从3个红球、2个白球中任取3个,所包含的基本事件有(a1,a2,a3),(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),

(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),(a1,b1,b2),(a2,b1,b2),(a3,b1,b2),共10个.由于每个基本事件发生的机会相等,因此这些基本事件的发生是等可能的.

用A表示“所取的3个球中至少有1个白球”,则其对立事件表示“所取的3个球中没有白球”,则事件包含的基本事件有1个:(a1,a2,a3),所以P()=.

故P(A)=1-P()=1-=.

5.有一种电子产品,它可以正常使用的概率为0.992,则它不能正常使用的概率是________. 

【解析】设电子产品可以正常使用为事件A,其对立事件为电子产品不能正常使用,

P()=1-P(A)=1-0.992=0.008.

答案:0.008

6.某次知识竞赛规则如下:主办方预设3个问题,选手若能正确回答出这3个问题,即可晋级下一轮.假设某选手回答正确的个数为0,1,2的概率分别是0.1,0.2,0.3,求该选手晋级下一轮的概率.

【解析】记“答对0个问题”为事件A,“答对1个问题”为事件B,“答对2个问题”为事件C,这3个事件彼此互斥,“答对3个问题(即晋级下一轮)”为事件D,则“不能晋级下一轮”为事件D的对立事件.显然P()=P(A+B+C)=P(A)+

P(B)+P(C)=0.1+0.2+0.3=0.6,故P(D)=1-P()=1-0.6=0.4.

故事件“晋级下一轮”的概率为0.4.

(30分钟·60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.某产品的设计长度为20 cm,规定误差不超过0.5 cm为合格品,今对一批产品进行测量,测得结果如表:

则这批产品的不合格率为 (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选D.由题意得所求概率P==.

2.一袋中装有大小相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号和小于15的概率为              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选D.从中有放回地取2次,所取号码共有8×8=64种,其中和不小于15的有3种,分别是(7,8),(8,7),(8,8),故所求概率P=1-=.

3.若P(X≤n)=1-a,P(X≥m)=1-b,其中m<n,则P(m≤X≤n)等于 (　　)

A.(1-a)(1-b)    B.1-a(1-b)

C.1-(a+b)     D.1-b(1-a)

【解析】选C.P(m≤X≤n)=P(X≤n)+P(X≥m)-1

=(1-a)+(1-b)-1=1-(a+b).

4.如果事件A与B是互斥事件,且事件A+B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率为              (　　)

A.0.2   B.0.4   C.0.6   D.0.8

【解析】选C.由题意知P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8,①

P(A)=3P(B),②

解①②组成的方程组知P(A)=0.6.

5.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台,其中甲型彩电至多一台的概率为

(　　)

A.   B.    C.    D.

【解析】选A.从5台彩电中任取2台,都是甲型彩电的概率P1=,所以甲型彩电至多一台的概率P=1-=.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为________. 

【解析】记事件A:甲或乙被录用.从五人中录用三人,基本事件有(甲,乙,丙)、(甲,乙,丁)、(甲,乙,戊)、(甲,丙,丁)、(甲,丙,戊)、(甲,丁,戊)、(乙,丙,丁)、(乙,丙,戊)、(乙,丁,戊)、(丙,丁,戊),共10种可能,而A的对立事件仅有(丙,丁,戊)一种可能,所以A的对立事件的概率P()=,所以P(A)=1-P()=.

答案:

7.某商店试销某种商品20天,获得如下数据:

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率,则当天商店不进货的概率为________. 

【解析】商店不进货即日销售量少于2件,显然“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生,彼此互斥.

记“当天商品销售量为0件”为事件A,“当天商品销售量为1件”为事件B,“当天商店不进货”为事件C,则P(C)=P(A)+P(B)=+=.

答案:

8.已知集合A={1,2,3,4,5},x,y∈A,x≠y.记“实数x,y满足不等式x2+y2>10”为事件B,则事件B发生的概率P(B)=________. 

【解析】从集合A中任取两个数,则共有10个结果,事件B的对立事件为x2+y2≤10,而满足x2+y2≤10的只有1和2,1和3,故P()==,

所以P(B)=1-P()=1-=.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只(球除颜色外其余均相同),从中每次任取1只,有放回地抽取3次,求:

(1)“3只球颜色全相同”的概率;

(2)“3只球颜色不全相同”的概率.

【解析】(1)“3只球颜色全相同”包括“3只球全是红球”(事件A),“3只球全是黄球”(事件B),“3只球全是白球”(事件C),

且它们彼此互斥,故“3只球颜色全相同”这个事件可记为A+B+C,又P(A)=

P(B)=P(C)=,

故P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)= .

(2)记“3只球颜色不全相同”为事件D,则事件为“3只球颜色全相同”,

又P()=P(A+B+C)=,

所以P(D)=1-P()=1-=,

故“3只球颜色不全相同”的概率为.

10.甲工作室有1名高级工程师和3名普通工程师,乙工作室有2名高级工程师和3名普通工程师,现在要从甲工作室中选出2人,从乙工作室中选出1人支援外地建设.

(1)求选出的3人均是普通工程师的概率;

(2)求选出的3人中至少有1名高级工程师的概率.

【解析】记甲工作室的4人分别为甲g,甲1,甲2,甲3,乙工作室的5人分别为乙,乙,乙1,乙2,乙3.

从甲工作室选取2人的不同结果为(甲g,甲1),(甲g,甲2),(甲g,甲3),

(甲1,甲2),(甲1,甲3),(甲2,甲3),共有6种选法.

从乙工作室中选取1人有5种选法,故从甲工作室中选出2人,从乙工作室中选出1人的所有基本事件为(甲g,甲1,乙),(甲g,甲1,乙),(甲g,甲1,乙1),

(甲g,甲1,乙2),(甲g,甲1,乙3),…,共有30种.

(1)选出的3人均是普通工程师,则从甲工作室中选出的2人都是普通工程师,有(甲1,甲2),(甲1,甲3),(甲2,甲3),共3种情况,从乙工作室中选1名普通工程师的不同结果为乙1,乙2,乙3,共有3种选法,故“选出的3人均是普通工程师”的不同结果为(甲1,甲2,乙1),(甲1,甲2,乙2),(甲1,甲2,乙3),(甲1,甲3,乙1),(甲1,甲3,乙2),(甲1,甲3,乙3),(甲2,甲3,乙1),(甲2,甲3,乙2),(甲2,甲3,乙3),共有9种选法,记“选出的3人均是普通工程师”为事件A,则P(A)==.

(2)记“选出的3人中至少有1名高级工程师”为事件B,则事件A,B对立,故P(B)=1-P(A)=.

1.四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的一枚硬币,所有人同时抛出自己的硬币.若落在圆桌上时硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为              (　　)

A.   B.  C.   D.

【解析】选B.抛四枚硬币,总的结果有16种,“没有相邻的两个人站起来”记为事件A,可分为三类:一是没有人站起来,只有1种结果;二是有1人站起来,有4种结果;三是有2人站起来,可以是AC或BD,有2种结果.所以满足题意的结果共有1+4+2=7种结果,P(A)=.

2.“顶香居”食品有限公司对生产的某种面包按行业标准分成五个不同等级,等级系数X依次为A,B,C,D,E.现从该种面包中随机抽取20件样品进行检验,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:

从等级系数为A,D,E的样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出的可能性相同).

(1)求取出的两件样品是等级系数为A与D的概率;

(2)求取出的两件样品是不同等级的概率.

【解析】(1)A级所取的样品数为20×0.1=2,D级所取的样品数为20×0.15=3,E级所取的样品数为20×0.1=2.

将等级系数为A的2件样品分别记为a1,a2;等级系数为D的3件样品分别记为x1,x2,x3;等级系数为E的2件样品分别记为y1,y2.现从a1,a2,x1,x2,x3,y1,y2这7件样品中一次性任取两件,共有21种不同的结果,分别为{a1,a2},{a1,x1},

{a1,x2},{a1,x3},{a1,y1},{a1,y2},{a2,x1},{a2,x2},{a2,x3},{a2,y1},{a2,y2},

{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},

{y1,y2}.

记事件M为“取出的两件样品是等级系数为A与D”,则事件M所包含的基本事件有6种,分别为{a1,x1},{a1,x2},{a1,x3},{a2,x1},{a2,x2},{a2,x3}.所以事件M的概率P(M)==.

(2)记事件L为“取出的两件样品是不同等级”,则事件为“取出的两件样品是同等级”,所以事件所含的基本事件有5种,分别为{a1,a2},{x1,x2},{x1,x3},

{x2,x3},{y1,y2},所以事件的概率P()=,所以P(L)=1-P()=1-=,即取出的两件样品是不同等级的概率为.