高中北师大版1.2向量的概念同步练习题

2020-2021学年北师大版必修四   2.1.2 向量的概念      作业

一、选择题

1、在△ABC中，已知向量与满足(＋)·＝0且·＝，则△ABC为(　　)

A．三边均不相等的三角形     B．直角三角形

C．等腰非等边三角形      D．等边三角形

2、
设为向量．则是的（   ）。

A． 充分不必要条件    B． 必要不充分条件    C． 充分必要条件    D． 既不充分也必要条件

3、已知点，，则与平行的单位向量的坐标为（    ）

A． B．

C．和 D．和和和

4、关于零向量，下列说法中错误的是 (  )

A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度是0

C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的

5、下列说法正确的是（   ）

A．零向量没有方向                            B．单位向量都相等

C．共线向量又叫平行向量                      D．任何向量的模都是正实数

6、如果，是两个单位向量，则与一定（    ）

A．相等 B．平行 C．方向相同 D．长度相等

7、
四边形中， ，且，则四边形是（    ）。

A． 平行四边形    B． 菱形    C． 矩形    D． 正方形

8、设都是非零向量，下列四个条件，使成立的充要条件是（    ）

A.     B.     C. 且    D. 且方向相同

9、设分别是与同向的单位向量，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

10、已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量的方向相反的单位向量是（　　）

A．（﹣，）        B．（﹣，）        C．（，﹣）        D．（，﹣）

11、给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则＝；③向量与相等．则所有正确命题的序号是(　　)

A．①    B．③    C．①③    D．①②

12、下列命题中，正确的是(　　)

A．a，b是两个单位向量，则a与b相等

B．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

C．两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同

D．共线的单位向量必是相等向量

二、填空题

13、如图，设是边长为1的正六边形的中心，写出图中与向量相等的向量______.（写出两个即可）

14、如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，若||＝3，则向量的模等于________．

15、已知是单位向量，则__________．

16、给出下列命题：

①若 ，则；

②若单位向量的起点相同，则终点相同；

③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．

其中正确命题的序号是________．

三、解答题

17、（本小题满分10分）如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，

(1)写出与、相等的向量；

(2)写出与模相等的向量．

18、（本小题满分12分）判断下列命题是否正确，请说明理由：

（1）若向量与同向，且，则；

（2）若向，则与的长度相等且方向相同或相反；

（3）对于任意向量，若与的方向相同，则=；

（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；

（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．

19、（本小题满分12分）已知△ABC及一点O，求证：O为△ABC的重心的充要条件是

参考答案

1、答案D

解析

2、答案C

解析

分析

利用向量的数量积公式推断与的充分必要关系.

详解

∵

若向量一个或都为零向量，显然成立；

若，，则，若，则，从而，是的充要条件．故选C.

点睛

要证明p是q的充要条件，要分别从p和，两个方面验证。
 

3、答案C

解析由题,得到,则与其平行的向量去满足对应坐标成比例,且模长为1,由此作出选择即可

详解

由题, ,由题意可判断,D选项中和不与平行,A、B选项向量不全,

故选：C

点睛

本题考查平行向量,考查单位向量,要考虑全面,属于基础题

4、答案A

解析根据零向量的概念，逐项判定，即可求解，得到答案．

详解：由定义可得，零向量的长度为0，方向任意；且零向量与任意向量都平行，所以选项A错误，所以选项B,C,D正确，故选A．

点睛

本题主要考查了零向量的概念的应用，其中解答中熟记零向量的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

5、答案C

解析由于向量中规定共线向量又叫平行向量,故应选C.

考点：向量的有关概念.

6、答案D

解析根据，是两个单位向量；可得到其模长相等，方向不定，即可判断答案．

详解：因为，是两个单位向量；

所以其模长相等，方向不定；

故选：D．

点睛

本题主要考查平面向量的概念和关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题。

7、答案C

解析由于，故四边形是平行四边形，根据向量加法和减法的几何意义可知，该平行四边形的对角线相等，故为矩形.
 

8、答案D

解析表示方向的单位向量，因此的条件是与同向即可，故选D．

9、答案C

解析由题只能得到,由于的方向未知,因此选项A,B,D不正确.

详解：由题,分别是与同向的单位向量,即,

故,即选项C正确；

因为的方向未知,故选项A,B,D不正确,

故选:C

点睛

本题考查单位向量的概念,属于基础题.

10、答案A

试题解析：解： =（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），==5.

∴与向量的方向相反的单位向量===．

故选：A．

考点：单位向量．

11、答案A

解析根据零向量的定义、单位向量的概念和相等向量的概念，对三个命题的真假性逐一进行判断，由此得出正确选项.

详解

.根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．所以选A.

点睛

本小题主要考查零向量的定义，考查单位向量的概念以及考查相等向量的概念.属于基础题.

12、答案B.

解析若a与b中有一个是零向量，

则a与b是平行向量．

13、答案，，

解析由题意与相等向量的定义可得答案.

详解：解：由题可得：与相等的向量是：，，；

故答案为： ，，.

点睛

本题主要考查相等向量的定义，属于基础题.

14、答案6

解析在平行四边形ABCD和ABDE中，

∵＝，＝，∴＝，∴E，D，C三点共线，

||＝||＋||＝2||＝6.

15、答案

解析由题意得到的方程，解方程确定其值即可.

详解

由题意结合单位向量的定义可得：，解方程可得.

点睛

本题主要考查单位向量的定义与应用，属于基础题.

16、答案③

解析①考虑的情况；②根据单位向量的定义判断.③根据相等向量的定义判断.④共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直线可能平行也可能重合.

详解：①错误．若，则①不成立；

②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；

③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；

④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上．

故答案为：③

点睛

本题主要考查平面向量的概念及其关系，要注意零向量的方向任意，与任何向量是共线向量；判断向量是否共线，要根据向量的方向来进行判断，属于基础题.

 (2)根据向量的模的概念，即可作出判定，得到答案。

详解

(1)根据相等向量的概念可知，与相等的向量为、，与相等的向量为．

(2)根据向量的模的概念，可得与向量模相等的向量为，，．

点睛

本题主要考查了相等向量概念，以及向量模的概念的应用，其中解答中熟记相等向量的概念和向量模的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。

解析

18、答案（1）不正确，理由见解析（2）不正确，理由见解析（3）正确，理由见解析（4）不正确，理由见解析（5）不正确，理由见解析

详解：（1）不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．

（2）不正确．由|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．

（3）正确．因为|，且与同向，由两向量相等的条件，可得=

（4）不正确．依据规定：与任意向量平行．

（5）不正确．因为向量与若有一个是零向量，则其方向不定．

点睛

本题主要考查平面向量的相关概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

解析

19、答案设P、Q、R分别是BC、CA、AB的中点，则

解析