高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第三节二元一次不等式组与简单的线性规划问题课时规范练理含解析新人教版

二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

[A组　基础对点练]

1．下列各点中，与点(2，2)位于直线x＋y－1＝0的同一侧的是(　　)

A．(0，0)     B．(－1，1)

C．(－1，3)     D．(2，－3)

解析：点(2，2)使x＋y－1＞0，点(－1，3)使x＋y－1＞0，所以此两点位于x＋y－1＝0的同一侧．

答案：C

2．(2020·辽宁铁岭模拟)已知变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为(　　)

A．1　　　        　B．2     C．3　　　　     D．4

解析：作图易知可行域为一个三角形，

其三个顶点为(0，1)，(1，0)，(－1，－2)，

验证知当直线z＝2x＋y过点A(1，0)时，z最大是2.

答案：B

3．(2021·河北石家庄模拟)已知x，y满足约束条件则下列目标函数中，在点(4，1)处取得最大值的是(　　)

A．z＝x－y     B．z＝－3x＋y

C．z＝x＋y     D．z＝3x－y

解析：作出不等式组表示的可行域，求得A，B，C三点坐标分别为(4，1)，(1，4)，(－4，－1)，由于只在(4，1)处取得最大值，否定选项ABC.

答案：D

4．若函数y＝log2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)

A．     B．1

C．     D．2

解析：如图所示，作出不等式组表示的可行域，当函数y＝log2x的图象过点(2，1)时，实数m有最大值1.

答案：B

5．设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是(　　)

A．－15     B．－9

C．1     D．9

解析：法一：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15.

法二：易求得可行域顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z的值依次为1，－15，9，故最小值为－15.

答案：A

6．已知x，y满足条件则z＝的最大值为(　　)

A．2     B．3

C．－     D．－

解析：作出可行域(图略)，问题转化为区域上哪一点与点M(－3，1)连线斜率最大，观察知点A使kMA最大，所以zmax＝kMA＝＝3.

答案：B

7．(2020·山西太原模拟)已知点(x，y)所在的可行域如图中阴影部分所示(包含边界).若使目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数多个，则a的值为(　　)

A．4     B．

C．     D．

解析：因为目标函数z＝ax＋y，所以y＝－ax＋z，易知z是直线y＝－ax＋z在y轴上的截距．分析知当直线y＝－ax＋z的斜率与直线AC的斜率相等时，目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数多个，此时－a＝＝－，即a＝.

答案：D

8．若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．

解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)，x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看作常数)的纵截距最大，

由图可得直线x＋y＝z过点C时z取得最大值．

由得点C(5，4)，

∴zmax＝5＋4＝9.

答案：9

9．若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________．

解析：画出可行域如图阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－3x＋3z，作出直线y＝－3x，并平移该直线，当直线y＝－3x＋3z过点A(2，3)时，目标函数z＝x＋y取得最大值，最大值为2＋×3＝3.

答案：3

10．若关于x，y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为________．

解析：直线kx－y＋1＝0过点(0，1)，要使不等式组表示的区域为等腰直角三角形，只有直线kx－y＋1＝0垂直于y轴(如图①)或与直线x＋y＝0垂直(如图②)时才符合题意，所以S＝×1×1＝或S＝××＝.

答案：或

11．(2020·甘肃兰州诊断)已知x，y满足约束条件则x2＋y2的最小值是________．

解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示，x2＋y2表示平面区域内的点到坐标原点的距离的平方．由题意知，当以原点为圆心的圆与直线3x＋4y－4＝0相切时，x2＋y2取得最小值，即 ＝＝，所以(x2＋y2)min＝.

答案：

[B组　素养提升练]

1．(2021·河南开封模拟)已知实数x，y满足约束条件则z＝的最大值是(　　)

A．     B．

C．32     D．64

解析：法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u＝x－2y，由图知，当直线u＝x－2y经过点A(1，3)时，u取得最小值，即umin＝1－2×3＝－5，此时z＝取得最大值，即zmax＝＝32.

法二：由题易知z＝的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出顶点A，B，C的坐标分别代入z＝，即可求得最大值．联立得解得A(1，3)，代入可得z＝32；联立得解得B，代入可得z＝；联立得解得C(－2，0)，代入可得z＝4.通过比较可知，在点A(1，3)处，z＝取得最大值32.

答案：C

2．(2020·福建福州模拟)不等式组的解集记为D.有下面四个命题：

p1：∀(x，y)∈D，x－2y≥2；

p2：∃(x，y)∈D，x－2y≥3；

p3：∀(x，y)∈D，x－2y≥；

p4：∃(x，y)∈D，x－2y≤－2.

其中的真命题是(　　)

A．p2，p3     B．p1，p4

C．p1，p2     D．p1，p3

解析：不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，

由解得所以M.

由图可知，当直线z＝x－2y过点M时，z取得最小值，且zmin＝－2×＝，所以真命题是p2，p3.

答案：A

3．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为(　　)

A．31 200元     B．36 000元

C．36 800元     D．38 400元

解析：设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为

作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值zmin＝36 800(元).

答案：C

4．设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn.若4a1≤a3＋3，a4≤2a1＋6，S2≥2，则数列{an}的前4项和S4的最大值为________．

解析：该题可用线性规划来求解，

由已知得

S4＝4a1＋6d.

如图所示，S4在点A(3，3)处取得最大值，

即当a1＝d＝3时，(S4)max＝4×3＋6×3＝30.

答案：30