高考数学一轮复习第七章第三节空间点直线平面之间的位置关系课时作业理含解析北师大版

第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系

授课提示：对应学生用书第343页

[A组　基础保分练]

1．以下四个命题中，正确命题的个数是（　　）

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．

A．0　　　　　　　　　 B．1

C．2  D．3

解析：对于①，不共面的四点中，其中任意三点不共线，故①正确；对于②，若A，B，C共线时，A，B，C，D，E不一定共面，故②不正确；对于③，b，c也可异面，故③不正确；④是错误的．

答案：B

2．两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是（　　）

A．两条相交直线  B．两条平行直线

C．两个点  D．一条直线和直线外一点

解析：如图，在正方体ABCD­EFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG．当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点．

答案：C

3．（2021·唐山模拟）已知α，β是两个不重合的平面，直线aα，p：a∥β，q：α∥β，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：由平面平行的性质，显然q⇒p；若aα，a∥β，则α，β可能平行、相交，p⇒/ q．故p是q的必要不充分条件．

答案：B

4．α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题中错误的是（　　）

A．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β

B．若mα，α∥β，则m∥β

C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l

D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β

解析：由α，β是两个平面，m，n是两条直线，知在A中，m⊥n，m⊥α，n⊥β，由面面垂直的判定得α⊥β，故A正确；在B中，mα，α∥β，由面面平行的性质得m∥β，故B正确；在C中，α∩β＝l，m∥α，m∥β，由线面平行的性质得m∥l，故C正确；在D中，m⊥n，m⊥α，n∥β，得α与β相交或平行，故D错误．

答案：D

5．将下面的平面图形（图中每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个正四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是（　　）

A．①②  B．②④

C．①④  D．①③

解析：图②翻折后点N与点Q重合，两直线相交；图③翻折后两直线平行，因此选C．

答案：C

6．平面α外有两条直线a，b，它们在平面α内的正投影分别是直线m，n，则下列命题正确的是（　　）

A．若a⊥b，则m⊥n

B．若m⊥n，则a⊥b

C．若m∥n，则a∥b

D．若m与n相交，则a与b相交或异面

解析：对于选项A，当直线a，b相交，且所在平面与平面α垂直时，直线m，n重合，故A不正确；对于选项B，不妨在正方体ABCD­A1B1C1D1中考虑，取面对角线AB1，AD1，其所在直线分别记为a，b，其在平面ABCD上的正投影分别为AB，AD，分别记为m，n，此时m⊥n，但a与b不垂直，故B不正确；对于选项C，不妨在正方体ABCD­A1B1C1D1中考虑，取面对角线AB1，CD1，其所在直线分别记为a，b，其在平面ABCD上的正投影分别为AB，CD，分别记为m，n，此时m∥n，但a与b不平行，故C不正确；对于选项D，若m与n相交，则a与b不可能平行，只能是相交或异面，故D正确．

答案：D

7．（2019·高考北京卷）已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_________．

解析：若l⊥α，l⊥m，则m∥α，显然①③⇒②正确；若l⊥m，m∥α，则l∥α，l与α相交但不垂直都可以，故①②⇒③不正确；若l⊥α，m∥α，则l垂直α内所有直线，在α内必存在与m平行的直线，所以可推出l⊥m，故②③⇒①正确．

答案：若l⊥m，l⊥α，则m∥α（答案不唯一）

8．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；

②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l与α平行；

③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

④若直线l与α内的两条直线垂直，则直线l与α垂直．

真命题的序号有　　　　（写出所有真命题的序号）．

解析：由α，β为不重合的两个平面，知在①中，若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则由面面平行的判定定理得α平行于β，故①正确；在②中，若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则由线面平行的判定定理得l和α平行，故②正确；在③中，设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α与β所成的角可能是锐角，也可能是直角，故③错误；在④中，只有直线l与α内的两条相交直线垂直，才有直线l与α垂直，故④错误．故答案为①②．

答案：①②

9．（2020·高考全国卷Ⅲ）如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．证明：

（1）当AB＝BC时，EF⊥AC；

（2）点C1在平面AEF内．

证明：（1）如图，连接BD，B1D1．因为AB＝BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD．因为BB1⊥平面ABCD，于是AC⊥BB1．又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D．由于EF⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC．

（2）如图，在棱AA1上取点G，使得AG＝2GA1，连接GD1，FC1，FG．因为D1E＝DD1，AG＝AA1，DD1綊AA1，所以ED1綊AG，于是四边形ED1GA为平行四边形，故AE∥GD1．

因为B1F＝BB1，A1G＝AA1，BB1綊AA1，所以B1FGA1是平行四边形，所以FG綊A1B1，所以FG綊C1D1，四边形FGD1C1为平行四边形，故GD1∥FC1．

于是AE∥FC1．所以A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内．

[B组　能力提升练]

1．（2021·济宁模拟）如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（　　）

A．CC1与B1E是异面直线

B．AC⊥平面ABB1A1

C．AE⊥B1C1

D．A1C1∥平面AB1E

解析：对于A，CC1与B1E均在侧面BCC1B1内，又两直线不平行，故相交，A错误；对于B，AC与平面ABB1A1所成的角为60°，所以AC不垂直于平面ABB1A1，故B错误；对于C，AE⊥BC，BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1，故C正确；对于D，AC与平面AB1E有公共点A，AC∥A1C1，所以A1C1与平面AB1E相交，故D错误．

答案：C

2．已知三个平面α，β，γ，α∥β∥γ，a，b是异面直线，a与α，β，γ分别交于A，B，C三点，b与α，β，γ分别交于D，E，F三点，连接AF交平面β于点G，连接CD交平面β于点H，则四边形BGEH的形状为（　　）

A．平行四边形  B．矩形

C．菱形  D．梯形

解析：平面α∥β∥γ，A，D∈α，连接AD，∴AD平面α，同理BH平面β，∴BH∥AD．同理GE∥AD，∴BH∥GE．同理BG∥HE，∴四边形BGEH是平行四边形．

答案：A

3．已知直线l平面α，直线m平面α，给出下面四个结论：①若l与m不垂直，则l与α一定不垂直；②若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角也为30°；③l∥m是l∥α的必要不充分条件；④若l与α相交，则l与m一定是异面直线．其中正确结论的个数为（　　）

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：对于①，当l与m不垂直时，假设l⊥α，那么由l⊥α定能得到l⊥m，这与已知条件矛盾，因此l与α一定不垂直，故①正确；对于②，易知l与m所成的角为30°时，l与α所成的角不一定为30°，故②不正确；对于③，l∥m可以推出l∥α，但是l∥α不能推出l∥m，因此l∥m是l∥α的充分不必要条件，故③不正确；对于④，若l与α相交，则l与m相交或异面，故④不正确．故正确结论的个数为1．

答案：A

4．（2021·河南安阳调研）在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E∈平面AA1B1B，点F是线段AA1的中点，若D1E⊥CF，则当△EBC的面积取得最小值时，＝_________．

解析： 如图所示，连接B1D1，取AB的中点G，连接D1G，B1G．由题意得CF⊥平面B1D1G，

所以当点E在直线B1G上时，D1E⊥CF，

设BC＝a，则S△EBC＝EB·BC＝EB·a，

当△EBC的面积取最小值时，线段EB的长度为点B到直线B1G的距离，

所以线段EB长度的最小值为，所以＝＝．

答案：

5．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是BC，AB的中点，点F在棱CC1上，AB＝BC＝CA＝CF＝2，AA1＝3，给出下列说法：

①设平面ADF与平面BEC1的交线为l，则直线C1E与l相交；

②在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥N­ADF的体积为；

③设点M在BB1上，当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF；

④在棱A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF．

其中正确说法的序号为_________．

解析：连接CE交AD于点O（图略），则O为△ABC的重心，连接OF，由已知得OF∥EC1，则EC1∥l，故①错；若存在点N在A1C1上，则VN­ADF＝VD­AFN，当N与C1重合时，VD­AFN取最小值为，故②错；当BM＝1时，可证得△CBM≌△FCD，则∠BCM＋∠CDF＝90°，即CM⊥DF．易得AD⊥平面CBB1C1，∴AD⊥CM，AD∩DF＝D，则CM⊥平面ADF，又CM平面AMC，∴平面CAM⊥平面ADF，故③正确；过C1作C1G∥FA交AA1于点G（图略），若在A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF，则C1P⊥C1G，易得C1P⊥GA1，∴C1P⊥平面A1C1G，则C1P⊥A1C1，矛盾，故④错．

答案：③

6．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2．求：

（1）三棱锥P­ABC的体积；

（2）异面直线BC与AD所成角的余弦值．

解析：（1）S△ABC＝×2×2＝2，

三棱锥P­ABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝．

（2）如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角．

在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝．

故异面直线BC与AD所成角的余弦值为．

[C组　创新应用练]

1．设四棱锥P­ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥（如图），使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α（　　）

A．不存在  B．只有1个

C．恰有4个  D．有无数多个

解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β．作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相交，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．

答案：D

2．异面直线l与m成60°角，异面直线l与n成45°角，则异面直线m与n所成角的取值范围是（　　）

A．[15°，90°]  B．[60°，90°]

C．[15°，90°）  D．[15°，60°]

解析：如图，在直线l上任取一点O，过O作m′∥m，n′∥n．当m′，n′，l三线共面时，m′与n′所成的最小角为15°，即异面直线m与n所成角的最小值是15°．设n′与l固定，把m′绕点O旋转，则m′与n′所成的最大角为90°．

答案：A

3．平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，……则平面内五条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为（　　）

A．15  B．16

C．17  D．18

解析：法一：一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成7部分，注意到直线将平面分成的部分数满足4＝2＋2，7＝4＋3，归纳可知：四条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成7＋4＝11部分，五条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成11＋5＝16部分．

法二：如图，画出两两相交且任意三条不共点的五条直线，易知将平面分成16部分．

答案：B