高考数学一轮复习第八章第一节直线与直线方程课时作业理含解析北师大版

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第一节 直线与直线方程授课提示：对应学生用书第353页[A组　基础保分练]1．已知直线l过点（0，0）和（3，1），则直线l的斜率为（　　）A．3　　　　　　　　　 B．C．－  D．－3解析：由斜率公式可得，直线l的斜率k＝＝．答案：B2．（2021·泰安模拟）倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是（　　）A．x－y＋1＝0  B．x－y－＝0C．x＋y－＝0  D．x＋y＋＝0解析：由于倾斜角为120°，故斜率k＝－．又直线过点（－1，0），所以方程为y＝－（x＋1），即x＋y＋＝0．答案：D3．（2021·广州质检）若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，－1），则直线l的斜率为（　　）A．  B．－C．－  D．解析：依题意，设点P（a，1），Q（7，b），则有解得从而可知直线l的斜率为＝－．答案：B4．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是（　　）解析：直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0分别化为l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，可知，l1的斜率与l2的截距相同，l1的截距与l2的斜率相同，据此可判断出：只有B满足上述条件．答案：B5．（2021·济南调研）在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O（0，0），M（－1，3），点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为（　　）A．3x－y－6＝0  B．3x＋y＋6＝0C．3x－y＋6＝0  D．3x＋y－6＝0解析：因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3（x＋1），即3x－y＋6＝0．答案：C6．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是（　　）A．[－2，2]  B．（－∞，－2]∪[2，＋∞）C．[－2，0）∪（0，2]  D．（－∞，＋∞）解析：令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0）∪（0，2]．答案：C7．过点M（3，－4），且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_________．解析：若直线过原点，则k＝－，所以y＝－x，即4x＋3y＝0．若直线不过原点，设直线方程为＋＝1，即x＋y＝a．则a＝3＋（－4）＝－1，所以直线的方程为x＋y＋1＝0．答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝08．过点A（2，1），其倾斜角是直线l1：3x＋4y＋5＝0的倾斜角的一半的直线l的方程为_________．解析：设直线l和l1的倾斜角分别为α，β，则α＝∈，又tan β＝－，则－＝，解得tan α＝3或tan α＝－（舍去）．由点斜式得y－1＝3（x－2），即3x－y－5＝0．答案：3x－y－5＝09．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）过定点A（－3，4）；（2）斜率为．解析：（1）设直线l的方程为y＝k（x＋3）＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，由已知，得（3k＋4）×＝±6，解得k1＝－或k2＝－．故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0．（2）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，由已知，得|－6b·b|＝6，所以b＝±1．所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0．10．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P（1，0）作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．解析：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan（180°－30°）＝－，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x．设A（m，m），B（－n，n），所以AB的中点C，由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得解得m＝，所以A（，）．又P（1，0），所以kAB＝kAP＝＝，所以lAB：y＝（x－1），即直线AB的方程为（3＋）x－2y－3－＝0．[B组　能力提升练]1．过点（－10，10）且在x轴上的截距是在y轴上的截距的4倍的直线的方程为（　　）A．x－y＝0B．x＋4y－30＝0C．x＋y＝0或x＋4y－30＝0D．x＋y＝0或x－4y－30＝0解析：由题意，当直线经过原点时，直线的方程为x＋y＝0；当直线不经过原点时，设直线的方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝，此时直线的方程为＋＝1，即x＋4y－30＝0．答案：C2．（2021·成都诊断）设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（　　）A．  B．[－1，0]C．[0，1]  D．解析：由题意知y′＝2x＋2，设P（x0，y0），则k＝2x0＋2．因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－．答案：A3．已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m）且点Q（4，0）到动直线l的最大距离为3，则＋的最小值为（　　）A．  B．C．1  D．9解析：因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m），所以a＋bm＋c－2＝0，又点Q（4，0）到动直线l的最大距离为3，所以 ＝3，解得m＝0，所以a＋c＝2，则＋＝（a＋c）·＝≥＝，当且仅当c＝2a＝时取等号．答案：B4．若直线l：kx－y＋2＋4k＝0（k∈R）交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，则当△AOB的面积取最小值时直线l的方程为（　　）A．x－2y＋4＝0  B．x－2y＋8＝0C．2x－y＋4＝0  D．2x－y＋8＝0解析：由l的方程，得A，B（0，2＋4k）．依题意得解得k＞0．因为S＝|OA|·|OB|＝·|2＋4k|＝·＝≥×（2×8＋16）＝16，当且仅当16k＝，即k＝时等号成立．此时l的方程为x－2y＋8＝0．答案：B5．已知三角形的三个顶点A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），则BC边上中线所在的直线方程为_________．解析：BC的中点坐标为M，所以BC边上中线AM所在直线斜率为k＝＝－，所以AM所在直线方程为y＝－（x＋5），即x＋13y＋5＝0．答案：x＋13y＋5＝06．已知直线l过坐标原点，若直线l与线段2x＋y＝8（2≤x≤3）有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_________．解析：设直线l与线段2x＋y＝8（2≤x≤3）的公共点为P（x，y），则点P（x，y）在线段AB上移动，且A（2，4），B（3，2），设直线l的斜率为k，又kOA＝2，kOB＝．如图所示，可知≤k≤2．∴直线l的斜率的取值范围是．答案：7．过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A，B两点，求使：（1）△AOB面积最小时l的方程；（2）|PA|·|PB|最小时l的方程．解析：设直线l的方程为y－1＝k（x－2）（k＜0），则l与x轴、y轴正半轴分别交于A，B（0，1－2k）．（1）S△AOB＝（1－2k）＝×≥×（4＋4）＝4．当且仅当－4k＝－，即k＝－时取最小值，此时直线l的方程为y－1＝－（x－2），即x＋2y－4＝0．（2）|PA|·|PB|＝ ·＝ ≥4，当且仅当＝4k2，即k＝－1时取得最小值，此时直线l的方程为y－1＝－（x－2），即x＋y－3＝0．[C组　创新应用练]1．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是（　　）A．6x－4y－3＝0  B．3x－2y－3＝0C．2x＋3y－2＝0  D．2x＋3y－1＝0解析：因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为，直线3x－2y＋5＝0的斜率为，所以所求直线l的方程为y＝，化为一般式，得6x－4y－3＝0．答案：A2．已知函数f（x）＝asin x－bcos x（a≠0，b≠0），若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为（　　）A．  B．C．  D．解析：由f＝f知函数f（x）的图像关于x＝对称，所以f（0）＝f，所以a＝－b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝＝－1，所以直线的倾斜角为．答案：D3．如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为　　　　米．解析：如图建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为y－4＝k（x－3）（k＜0），所以A，B（0，4－3k），所以△ABO的面积S＝（4－3k）＝，因为k＜0，所以－9k－≥2＝24，当且仅当－9k＝－，即k＝－时取等号．此时，A（6，0），B（0，8），所以人行道的长度为＝10米．答案：10