高考数学一轮复习第十章第四节变量间的相关关系与统计案例课时作业理含解析北师大版

变量间的相关关系与统计案例

授课提示：对应学生用书第397页

[A组　基础保分练]

1.在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　）

A.－1　　　　　　　 B.0

C.  D.1

解析：因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，所以相关系数为1.

答案：D

2.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系.利用2×2列联表进行检验.经计算χ2＝7.069.参考下表，则认为“性别与是否喜欢数学课程有关”犯错误的概率不超过（　　）

A.0.001  B.0.01

C.0.99  D.0.999

解析：χ2＝7.069>6.635，对照表格，则认为“性别与是否喜欢数学课程有关”犯错误的概率不超过0.01.

答案：B

3.（2021·濮阳摸底）根据如表数据，得到的回归方程为y＝bx＋9，则b＝（　　）

A.2  B.1

C.0  D.－1

解析：由题意可得＝×（4＋5＋6＋7＋8）＝6，＝×（5＋4＋3＋2＋1）＝3，因为回归方程为y＝bx＋9且回归直线过点（6，3），所以3＝6b＋9，解得b＝－1.

答案：D

4.给出下列说法：①分类变量A与B的随机变量χ2越大，说明“A与B有关系”的可信度越大；②以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，经计算得到线性回归方程z＝0.3x＋4，则c，k的值分别是e4和0.3；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据，得到回归直线方程y＝a＋bx，若b＝2，＝1，＝3，则a＝1；④若变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关.其中正确说法的个数是（　　）

A.1  B.2

C.3  D.4

解析：根据独立性检验的原理知，分类变量A与B的随机变量K2的观测值越大，说明“A与B有关系”的可信度越大，①正确；根据回归分析的意义知，②正确；易知③正确；根据y与z正相关，y与x负相关，可知x与z负相关，④错误.

答案：C

5.（2021·合肥调研）某公司一种型号的产品近期销售情况如下表：

根据上表可得到回归直线方程y＝0.75x＋a，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（　　）

A.19.5万元  B.19.25万元

C.19.15万元  D.19.05万元

解析：由表中数据，得＝＝4，＝＝16.8.因为回归直线过样本点的中心，所以16.8＝0.75×4＋a，解得a＝13.8，所以回归直线方程为y＝0.75x＋13.8，所以该公司7月份这种型号产品的销售额为y＝0.75×7＋13.8＝19.05（万元）.

答案：D

6.（2021·成都摸底）某公司一种新产品的销售额y与宣传费用x之间的关系如下表：

已知销售额y与宣传费用x具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为y＝bx＋9，则b的值为_________.

解析：由表，得＝＝2，＝＝22，由22＝2b＋9，解得b＝6.5.

答案：6.5

7.某服装商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：

由表中数据算出线性回归方程y＝bx＋a中的b≈－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为　　　　件.

解析：由所提供数据可计算得出＝10，＝38，将b≈－2代入公式a＝－b可得a＝58，即线性回归方程y＝－2x＋58，将x＝6代入可得y＝46.

答案：46

[B组　能力提升练]

1.（2021·广州调研）某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X（单位：小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y（单位：千克）与使用某种液体肥料的质量x（单位：千克）之间的对应数据如折线图所示.

（1）依据折线图计算相关系数r（精确到0.01），并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系；（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

（2）蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：

对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为3 000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元.若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周的周总利润的平均值.

相关系数公式：r＝，

参考数据：≈0.55，≈0.95.

解析：（1）由已知数据可得＝＝5，＝＝4.

因为 （xi－）（yi－）＝（－3）×（－1）＋0＋0＋0＋3×1＝6，

＝

＝2，

＝＝，

所以相关系数r＝

＝＝≈0.95.

因为|r|＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.

（2）由条件可得在过去50周里，

当X>70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，

每周的总利润为1×3 000－2×1 000＝1 000（元）.

当50≤X≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，

每周的总利润为2×3 000－1×1 000＝5 000（元）.

当30<X<50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，

每周的总利润为3×3 000＝9 000（元）.

所以过去50周的周总利润的平均值为＝4 600（元），

所以商家在过去50周的总利润的平均值为4 600元.

2.为了让税收政策更好地为社会发展服务，国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后，发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》，明确“个税专项附加扣除”是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人六项专项附加扣除，并公布了相应的定额扣除标准，决定自2019年1月1日起施行.某企业为了调查内部员工对新个税方案的满意程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下2×2列联表：

（1）根据列联表，能否有99%的把握认为满意程度与年龄有关？

（2）为了帮助年龄在40岁及以下的未购房的8名员工解决实际困难，该企业拟按员工贡献积分x（单位：分）给予相应的住房补贴y（单位：元），现有两种补贴方案，方案甲：y＝1 000＋700x；方案乙：y＝已知这8名员工的贡献积分分别为2，3，6，7，7，11，12，12，将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“A类员工”.为了解员工对补贴方案的认可度，现从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，求恰好抽到3名“A类员工”的概率.

附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

参考数据：

解析：（1）根据列联表可得χ2＝＝≈11.429.

因为11.429＞6.635，所以有99%的把握认为满意程度与年龄有关.

（2）据题意，这8名员工的贡献积分及按甲、乙两种方案所获补贴情况为：

由表可知，“A类员工”有5名.设从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，恰好抽到3名“A类员工”的概率为P，则P＝＝.

[C组　创新应用练]

（2021·大同调研）某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计，其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.

（1）填写下面对教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表：

问：是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对教师教学水平给出好评与对教师管理水平给出好评有关？

（2）若将频率视为概率，有4名教师参与了此次评价，设教师教学水平和教师管理水平全为好评的教师人数为随机变量X.

①求教师教学水平和教师管理水平全为好评的教师人数X的分布列（概率用数值作答）；

②求X的数学期望和方差.

附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

解析：（1）由题意可得对教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表为

χ2＝≈16.667＞10.828，

∴可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对教师教学水平给出好评与对教师管理水平给出好评有关.

（2）①教师教学水平和教师管理水平全为好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4.

P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝C××＝，

P（X＝2）＝C××＝，

P（X＝3）＝C××＝，

P（X＝4）＝C×＝，

∴X的分布列为

②由于X～B，则EX＝4×＝，DX＝4××＝.