高中数学人教版新课标A必修2第一章 空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积复习练习题

1.3　空间几何体的表面积与体积

1.3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积

课后篇巩固提升

基础巩固

1.圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于(　　)

A.72 B.42π C.67π D.72π

解析S圆台表=S圆台侧+S上底+S下底=π(3+4)·6+π·32+π·42=67π.

答案C

2.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积的比值为(　　)

A.1 B. C. D.

解析设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径为r,高都为h,由已知得2Rh=rh,

∴r=2R,

V柱∶V锥=πR2h∶πr2h=3∶4,故选D.

答案D

3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (　　)

A. B. 

C. D.8

解析由图可知该几何体是底面积为8,高为2的四棱锥,如图所示:

∴该几何体的体积V=×8×2=.

答案B

4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(　　)

A.18+36 B.54+18

C.90 D.81

解析由题意知该几何体为四棱柱,且四棱柱的底面是边长为3的正方形,侧棱长为3,

所以所求表面积为(3×3+3×6+3×3)×2=54+18,故选B.

答案B

5.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)

A. B. C. D.

解析设正方形的边长为a,圆柱的底面圆的半径为r,则2πr=a,r=,所以圆柱的底面积为,侧面积为a2,表面积与侧面积的比是.

答案D

6.若半径为2的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为　　　　. 

解析由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆,如图,设圆锥底面半径为r,高为h,

则

解得

故它的体积为×π×12×.

答案

7.一个多面体的三视图如图所示,其中正视图是正方形,侧视图是等腰三角形,则该几何体的表面积为　　　　　. 

解析由三视图可得该几何体是三棱柱,底面是侧视图的三角形,底边为6、腰为5,一个底面的面积是12,三棱柱高是4,则侧面积为(5+5+6)×4=64,所以表面积为24+64=88.

答案88

8.

如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,则圆柱被截后剩下部分的体积是　　　　　. 

解析两个同样的该几何体能拼接成一个高为a+b的圆柱,

则拼接成的圆柱的体积V=πr2(a+b),

所以所求几何体的体积为.

答案

9.已知一个几何体的三视图如图所示.

(1)求此几何体的表面积;

(2)如果点P,Q在正视图中所示位置,P为所在线段中点,Q为顶点,求在几何体表面上,从P到Q点的最短路径的长.

解(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.

S圆锥侧=×2πa×a=πa2,

S圆柱侧=2πa×2a=4πa2,

S圆柱底=πa2,

所以S表=πa2+4πa2+πa2=(+5)πa2.

(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面,如图.

则PQ==a,

所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.

10.已知正四棱锥底面正方形的边长为4,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积.

解如图,正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成Rt△POE.

∵OE=2,∠OPE=30°,

∴PE=2OE=4.

因此S侧=4×PE×BC=4××4×4=32,S表面=S侧+S底=32+16=48.

能力提升

1.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)

A.1 B.2 

C.3 D.6

解析依题意,题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、右相对),其中底面是直角边长分别为1、2的直角三角形,侧棱长为3,因此其体积为×1×2×3=3.

答案C

2.某几何体的三视图如图所示(单位: cm),则该几何体的体积是(　　)

A.8 cm3 B.12 cm3 

C. cm3 D. cm3

解析由已知得,该几何体是由一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2,高为2的正四棱锥组合而成,

故其体积为V=23+×22×2=8+(cm3),故选C.

答案C

3.

如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为(　　)

A.(60+4)π B.(60+8)π

C.(56+8)π D.(56+4)π

解析四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成的几何体,如图.

S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=π+π(r1+r2)l2+πr1l1=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2=(60+4)π.故选A.

答案A

4.我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅,提出了著名的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为(　　)

A.4- B.8- C.8-π D.8-2π

解析由祖暅原理可知,该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等.根据题设所给的三视图,可知题图中的几何体是从一个正方体中挖去半个圆柱,正方体的体积为23=8,半圆柱的体积为×(π×12)×2=π,因此该不规则几何体的体积为8-π.

答案C

5.

如图,圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的侧面积为　　　　　. 

解析设圆台的上底面半径为r,则下底面半径为4r,高为4r.

由母线长为10可知10==5r,解得r=2.则圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8.

故圆台的侧面积为π×(2+8)×10=100π.

答案100π

6.一个封闭的正三棱柱容器,高为3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态),将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面与各棱交点E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,则图甲中水面的高度为　　　　　. 

解析因为E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的体积V=SEFCB×3=S△ABC×3=S△ABC,设图甲中水面的高度为h,则S△ABC×h=S△ABC,所以h=,故答案为.

答案

7.如图,一圆锥形封闭容器高为h,圆锥内水面高为h1,且h1=h,若将圆锥倒置后,圆锥内水面高为h2,求h2.

解因为,所以.

倒置后的体积关系为,

所以h2=h.

8.已知正三棱锥V-ABC的正视图、俯视图如图所示,其中VA=4,AC=2,求该三棱锥的表面积.

解由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示,

且VA=VB=VC=4,AB=BC=AC=2.

取BC的中点D,连接VD,则VD⊥BC,有

VD=,

则S△VBC=×VD×BC=×2,

×(2)2×=3,

故三棱锥V-ABC的表面积为

3S△VBC+S△ABC=3+3=3().

9.(选做题)如图,一个圆锥的底面半径为1,高为3,在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱.

(1)试用x表示圆柱的高;

(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大,最大侧面积是多少?

解(1)设所求的圆柱的底面半径为x,它的轴截面如图,

BO=1,PO=3,圆柱的高为h,

由图得,即h=3-3x(0<x<1).

(2)∵S圆柱侧=2πxh=2πx(3-3x)=6π(x-x2),

当x=时,圆柱的侧面积取得最大值为π.

∴当圆柱的底面半径为时,它的侧面积最大为π.