高中数学人教版新课标A必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课时训练

第二章点、直线、平面之间的位置关系

2.1　空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1　平面

课后篇巩固提升

基础巩固

1.过四条两两平行的直线中的两条最多可确定的平面个数是(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

解析两条平行线确定一个平面,由此可知最多6个平面.

答案D

2.已知A,B是点,a,b,l是直线,α是平面,如果a⊂α,b⊂α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列关系中成立的是(　　)

A.l⊂α B.l∈α

C.l∩α=A D.l∩α=B

解析由公理1或画图可知:l⊂α.

答案A

3.空间中四点可确定的平面有(　　)

A.1个 B.3个

C.4个 D.1个或4个或无数个

解析当这四点共线时,可确定无数个平面;当这四点不共线且共面时,可确定一个平面;当这四点不共面时,其中任三点可确定一个平面,此时可确定4个平面.

答案D

4.已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是(　　)

A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β

B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN

C.A∈α,A∈β⇒α∩β=A

D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合

解析两平面有公共点,则两平面有一条交线,故C错.

答案C

5.如图所示,平面α∩平面β=l,A、B∈α,C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A、B、C三点确定的平面为γ,则平面γ、β的交线必过(　　)

A.点A B.点B

C.点C,但不过点D D.点C和点D

解析根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故在β与γ的交线上.故选D.

答案D

6.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是　　　　　. 

解析如图,∵AC∥BD,∴AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=CD.

∵l∩α=O,∴O∈α.又O∈AB⊂β,∴O∈CD,

∴O,C,D三点共线.

答案共线

7.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.

(1)A∉α,a⊂α　　　　　. 

(2)α∩β=a,P∉α且P∉β　　　　　. 

(3)a⊄α,a∩α=A　　　　　. 

(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O　　　　　. 

答案(1)C　(2)D　(3)A　(4)B

8.如图所示,在空间四边形各边AD,AB,BC,CD上分别取E,F,G,H四点,如果EF,GH交于一点P,求证:点P在直线BD上.

证明∵EF∩GH=P,

∴P∈EF且P∈GH.

∵EF⊂平面ABD,GH⊂平面CBD,

∴P∈平面ABD,且P∈平面CBD,

∴P∈平面ABD∩平面CBD,

∵平面ABD∩平面CBD=BD,∴P∈BD.

∴点P在直线BD上.

9.一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面.

解已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.

求证:直线a,b,c,l共面.

证明:法一:∵a∥b,∴a,b确定一个平面α,

∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α,故l⊂α.

又∵a∥c,∴a,c确定一个平面β.

同理可证l⊂β,∴α∩β=a且α∩β=l.

∵过两条相交直线a、l有且只有一个平面,

故α与β重合,即直线a,b,c,l共面.

法二:由法一得a、b、l共面α,也就是说b在a、l确定的平面α内.

同理可证c在a、l确定的平面α内.

∵过a和l只能确定一个平面,∴a,b,c,l共面.

能力提升

1.有下列说法:

①梯形的四个顶点在同一个平面内;

②三条平行直线必共面;

③有三个公共点的两个平面必重合.

其中正确的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

解析因为梯形的上下底互相平行,所以梯形是平面图形,故①正确;三条平行直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故②错误;若两个平面的三个公共点不共线,则两平面重合,若三个公共点共线,两平面有可能相交,故③错误,故选B.

答案B

2.在三棱锥A-BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF∩HG=P,则点P(　　)

A.一定在直线BD上

B.一定在直线AC上

C.在直线AC或BD上

D.不在直线AC上,也不在直线BD上

解析如图,

∵EF⊂平面ABC,HG⊂平面ACD,EF∩HG=P,

∴P∈平面ABC,P∈平面ACD.

又平面ABC∩平面ACD=AC,

∴P∈AC,故选B.

答案B

3.已知α,β,γ是平面,a,b,c是直线,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若a∩b=P,则(　　)

A.P∈c B.P∉c 

C.c∩a=⌀ D.c∩β=⌀

解析如图,由a∩b=P,

∴P∈a,P∈b.

∵α∩β=a,β∩γ=b,

∴P∈α,P∈γ,而γ∩α=c,

∴P∈c.

答案A

4.三个互不重合的平面把空间分成n部分,则n所有可能的值为　　　　　. 

解析若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分;

若三个平面有两个平行,第三个平面与其他两个平面相交,则可将空间分成6部分;

若三个平面交于一线,则可将空间分成6部分;

若三个平面两两相交且三条交线平行,则可将空间分成7部分;

若三个平面两两相交且三条交线交于一点(如墙角三个墙面的关系),则可将空间分成8部分.故n的所有可能值为4,6,7,8.

答案4,6,7,8

5.空间三条直线,如果其中一条直线和其他两条直线都相交,那么这三条直线能确定的平面个数是　　　　. 

解析如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

①AA1∩AB=A,AA1∩A1B1=A1,直线AB,A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1).

②AA1∩AB=A,AA1∩A1D1=A1,

直线AB,AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1).

③三条直线AB,AD,AA1交于一点A,它们可以确定三个平面(平面ABCD,平面ABB1A1和平面ADD1A1).

答案1或2或3

6.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.

证明∵MN∩EF=Q,

∴Q∈MN,Q∈EF.

又M∈CD,N∈AB,CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,

∴M,N∈平面ABCD,

∴MN⊂平面ABCD.

∴Q∈平面ABCD.

同理,可得EF⊂平面ADD1A1.

∴Q∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,

∴Q∈AD,即D,A,Q三点共线.

7.(选做题)在棱长是a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1、D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.

(1)画出交线l;

(2)设l∩A1B1=P,求PB1的长;

(3)求点D1到l的距离.

解(1)如图,延长DM交D1A1的延长线于点Q,则点Q是平面DMN与平面A1B1C1D1的一个公共点.连接QN,则直线QN就是两平面的交线l.

(2)∵M是AA1的中点,

MA1∥DD1,

∴A1是QD1的中点.

又∵A1P∥D1N,

∴A1P=D1N.

∵N是D1C1的中点,

∴A1P=D1C1=,

∴PB1=A1B1-A1P=a.

(3)过点D1作D1H⊥PN于点H,

则D1H的长就是点D1到l的距离.

∵QD1=2A1D1=2a,D1N=,

∴D1H=a.

即点D1到l的距离是a.