2020-2021学年2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课时练习

2.2.4　平面与平面平行的性质

课后篇巩固提升

1.已知α∥β,a⊂α,B∈β,则在β内过点B的所有直线中 (　　)

A.不一定存在与a平行的直线

B.只有两条与a平行的直线

C.存在无数条与a平行的直线

D.存在唯一一条与a平行的直线

解析由直线a与点B确定一个平面,记为γ,设γ∩β=b,∵α∥β,a⊂α,∴a∥β.∴a∥b.只有此一条.

答案D

2.下列命题:

①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,必与另外一个平面相交;②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面,必平行于另一个平面;③夹在两个平行平面间的平行线段相等.

其中正确命题的个数是(　　)

A.1 B.2 

C.3 D.0

解析根据面面平行的性质知①②③正确,故选C.

答案C

3.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理正确的是(　　)

A.α∩β=a,b⊂α⇒a∥b

B.α∩β=a,a∥b⇒b∥α且b∥β

C.a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥β

D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b

解析选项A中,α∩β=a,b⊂α,则a,b可能平行也可能相交,故A不正确;

选项B中,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α且b∥β,也可能b在平面α或β内,故B不正确;

选项C中,a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,根据面面平行的判定定理,再加上条件a与b相交,才能得出α∥β,故C不正确;

选项D为面面平行性质定理的符号语言,故选D.

答案D

4.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当点A、B分别在平面α,β内运动时,动点C(　　)

A.不共面

B.当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面

C.当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

D.无论点A,B如何移动都共面

解析无论点A、B如何移动,其中点C到α、β的距离始终相等,故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上.

答案D

5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是              (　　)

A.矩形 B.菱形 

C.平行四边形 D.正方形

解析如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理,知BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形.

答案C

6.

如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是(　　)

A.平面 B.直线

C.线段,但只含1个端点 D.圆

解析∵平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1,

∴DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1交B1C1于E1(图略),

则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D).

答案C

7.α,β,γ为三个不重合的平面,a,b,c为三条不同的直线,则下列命题中不正确的是　　　　　. 

①⇒a∥b;②⇒a∥b;

③⇒α∥β;④⇒α∥β;

⑤⇒α∥a;⑥⇒a∥α.

解析由公理4及平行平面的传递性知①④正确.举反例知②③⑤⑥不正确.②中a,b可以相交,还可以异面;③中α,β可以相交;⑤中a可以在α内;⑥中a可以在α内.

答案②③⑤⑥

8.已知直线a∥平面α,平面α∥平面β,则直线a与平面β的位置关系为　　　　　　　　　　　　　. 

解析直线a可能在平面β内.若a不在平面β内,则a一定与平面β平行.

答案直线a平行于平面β或直线a在平面β内

9.

如图所示,已知A,B,C,D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G,则四边形EFHG的形状是　　　　　. 

解析平面ADC∩α=EF,且CD∥α,得EF∥CD;

同理可证GH∥CD,EG∥AB,FH∥AB.

∴GH∥EF,EG∥FH.

∴四边形EFGH是平行四边形.

答案平行四边形

10.

如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则=.

解析由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',

由等角定理得∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',

从而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B',

.

答案

11.如图所示的一块四棱柱木料ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是梯形,且CD∥AB.

(1)要经过面A1B1C1D1内的一点P和侧棱DD1将木料锯开,应怎样画线?

(2)所画的线之间有什么样的位置关系?

解(1)如图所示,连接D1P并延长交A1B1于E,过E作EF∥AA1交AB于F,连接DF,则D1E,EF,FD就是应画的线.

(2)∵DD1∥AA1,EF∥AA1,

∴D1D∥EF.∴D1D与EF确定一个平面α.

又∵平面AC∥平面A1C1,α∩平面AC=DF,α∩平面A1C1=D1E,∴D1E∥DF.

显然DF,D1E都与EF相交.

12.如图,四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D均在平行四边形A'B'C'D'所确定的平面α外,且AA',BB',CC',DD'互相平行.

求证:AD∥BC,AB∥CD.

证明方法一(由线线平行面面平行线线平行)

因为四边形A'B'C'D'是平行四边形,所以A'D'∥B'C'.

∵AA'∥BB',且AA',A'D'是平面AA'D'D内的两条相交直线,BB',B'C'是平面BB'C'C内的两条相交直线,∴平面AA'D'D∥平面BB'C'C.

又AD,BC分别是平面ABCD与平面AA'D'D,平面BB'C'C的交线,

所以AD∥BC.同理,可证AB∥CD.

方法二(由线线平行面面平行线面平行线线平行)

因为四边形A'B'C'D'是平行四边形,所以A'D'∥B'C'.

∵AA'∥BB',且AA',A'D'是平面AA'D'D内的两条相交直线,BB',B'C'是平面BB'C'C内的两条相交直线,

∴平面AA'D'D∥平面BB'C'C.BC⊂平面BB'C'C,所以BC∥平面AA'D'D.

又BC⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面AA'D'D=AD,

所以AD∥BC.同理,可证AB∥CD.