数学必修23.3 直线的交点坐标与距离公式复习练习题

3.3.2　两点间的距离

课后篇巩固提升

1.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为(　　)

A.1 B.-5 

C.1或-5 D.-1或5

解析由|AB|==5,得(a+2)2=9,解得a=1或-5.

答案C

2.已知△ABC的顶点A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC的周长是(　　)

A.2 B.3+2

C.6+3 D.6+

解析∵|AB|==3,|BC|=3,|AC|==3,

∴△ABC的周长为6+3.

答案C

3.已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是(　　)

A.2 B.4 C.5 D.

解析根据中点坐标公式,得=1,且=y.

解得x=4,y=1,所以点P的坐标为(4,1),则点P(x,y)到原点的距离d=.

答案D

4.到点A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P满足的方程是(　　)

A.3x-y-8=0 

B.3x+y+4=0

C.3x-y+6=0 

D.3x+y+2=0

解析设P(x,y),则,即3x+y+4=0.

答案B

5.若点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7,则点P到坐标原点距离的取值范围是(　　)

A.[0,5] B.[0,10]

C.[5,10] D.[5,15]

解析∵点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7,

∴-6≤x≤3.

∵线段4x+3y=0(-6≤x≤3)过原点,

∴点P到坐标原点的最近距离为0.

又点(-6,8)在线段上,

∴点P到坐标原点的最远距离为=10.

∴点P到坐标原点距离的取值范围是[0,10].

答案B

6.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B的距离为(　　)

A.5 B.2 

C.5 D.10

解析点B(2,10)关于x轴的对称点为B'(2,-10),由对称性可得光线从A到B的距离为|AB'|==5.选C.

答案C

7.若动点P的坐标为(x,1-x),x∈R,则动点P到原点的最小值是　　　　. 

解析|PO|=.

答案

8.已知M(1,0),N(-1,0),点P在直线2x-y-1=0上移动,则|PM|2+|PN|2的最小值为　　　　　. 

解析∵点P在直线2x-y-1=0上,可设P的坐标为(a,2a-1),

∴|PM|2+|PN|2=(a-1)2+(2a-1)2+(a+1)2+(2a-1)2=10a2-8a+4=10a-2+.

∴|PM|2+|PN|2的最小值为.

答案

9.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|的值为　　　　　　　. 

解析直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2),直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点B-1,,由两点间的距离公式,得|AB|=.

答案

10.已知正方形ABCD的边长为4,若E是BC的中点,F是CD的中点,试建立坐标系,求证:BF⊥AE.

证明

建立平面直角坐标系,如图所示,则B(4,0),E(4,2),F(2,4),A(0,0).

设直线AE,BF的斜率分别为kAE,kBF,

则kAE=,kBF==-2.

于是kAE·kBF=×(-2)=-1,

故BF⊥AE.

11.(选做题)在x轴上求一点P,使得

(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;

(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.

解(1)如图,设直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点,

且|PB|-|PA|=|AB|==5.∵直线BA的斜率kBA==-,

∴直线BA的方程为y=-x+4.

令y=0,得x=,即P.故距离之差最大值为5,此时P点的坐标为.

(2)作A关于x轴的对称点A',则A'(4,-1),连接CA',则|CA'|为所求最小值,直线CA'与x轴交点为所求点.

又|CA'|=,

直线CA'的斜率kCA'==-5,

则直线CA'的方程为y-4=-5(x-3).

令y=0,得x=,即P.

故距离之和最小值为,此时P点的坐标为.