高中数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质课后复习题

3.3.3~3.3.4　点到直线的距离　两条平行直线间的距离

课后篇巩固提升

1.已知两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为(　　)

A.4 B.

C. D.

解析∵直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,

∴,解得m=2.

∴两条直线方程分别为3x+y-3=0与6x+2y+1=0,即6x+2y-6=0与6x+2y+1=0.

∴两条直线之间的距离为d=.

答案D

2.已知点A(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为,则点A的坐标为(　　)

A.(0,-2) B.(2,4)

C.(0,-2)或(2,4) D.(1,1)

解析直线l:y=2x-1可化为2x-y-1=0,依题意得,整理得|t|=1,所以t=1或t=-1.当t=1时,点A的坐标为(2,4);当t=-1时,点A的坐标为(0,-2).综上,点A的坐标为(0,-2)或(2,4),故选C.

答案C

3.直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是 (　　)

A.3x-2y-6=0 

B.2x+3y+7=0

C.3x-2y-12=0 

D.2x+3y+8=0

解析(法一)设所求直线的方程为2x+3y+C=0,由题意可知,

解得C=-6(舍去)或C=8.

故所求直线的方程为2x+3y+8=0.

(法二)令(x0,y0)为所求直线上任意一点,则点(x0,y0)关于(1,-1)的对称点为(2-x0,-2-y0),此点在直线2x+3y-6=0上,代入可得所求直线方程为2x+3y+8=0.

答案D

4.当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时,m的值为(　　)

A. B.0 

C.-1 D.1

解析直线mx-y+1-2m=0过定点Q(2,1),所以点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时PQ垂直于直线mx-y+1-2m=0,即m·=-1,所以m=-1,故选C.

答案C

5.过点(1,2),且与原点距离最大的直线方程为(　　)

A.x+2y-5=0 

B.2x+y-4=0

C.x+3y-7=0 

D.3x+y-5=0

解析由已知得,所求直线过(1,2),且垂直于(0,0)与(1,2)两点的连线,

∴所求直线的斜率k=-,

∴y-2=-(x-1),

即x+2y-5=0.

答案A

6.过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有　　　　条. 

解析显然x=1过点(1,3)且与原点的距离为1;再设直线方程为y-3=k(x-1),由=1得,k=,所以直线方程为4x-3y+2=0,因此满足条件的直线有两条.

答案2

7.已知直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,若直线l1,l2的距离等于,且直线l1不经过第四象限,则a=　　　　　. 

解析由直线l1,l2的方程可知,直线l1∥l2.在直线l1上选取一点P(0,a),依题意得,l1与l2之间的距离为,整理得,解得a=3或a=-4.因为直线l1不经过第四象限,所以a≥0,所以a=3.

答案3

8.已知两条平行直线l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0间的距离为2,则b+c=　　　　　. 

解析将l1:3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0,因为两条直线平行,所以b=8.由=2,解得c=30,或c=-10,所以b+c=38或b+c=-2.

答案38或-2

9.已知直线l在x轴上的截距为1,又有两点A(-2,-1),B(4,5)到l的距离相等,则l的方程为　. 

解析显然l⊥x轴时符合要求,此时l的方程为x=1;

当l的斜率存在时,设l的斜率为k,则l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.

∵点A,B到l的距离相等,

∴,

∴|1-3k|=|3k-5|,

解得k=1,∴l的方程为x-y-1=0.

综上,l的方程为x=1或x-y-1=0.

答案x=1或x-y-1=0

10.已知△ABC三边所在直线方程:lAB:3x-2y+6=0,lAC:2x+3y-22=0,lBC:3x+4y-m=0(m∈R,m≠30).

(1)判断△ABC的形状;

(2)当BC边上的高为1时,求m的值.

解(1)因为直线AB的斜率为kAB=,直线AC的斜率为kAC=-,

所以kAB·kAC=-1,所以直线AB与AC互相垂直,因此△ABC为直角三角形.

(2)解方程组即A(2,6).

由点到直线的距离公式得d=.

当d=1时,=1,|30-m|=5,解得m=25或m=35.

所以m的值为25或35.

11.已知直线l1:x-y=0,l2:2x+y-3=0,l3:ax-2y+4=0.

(1)若点P在直线l1上,且到直线l2的距离为3,求点P的坐标;

(2)若l2∥l3,求l2与l3的距离.

解(1)依题意可设P(t,t),由=3,得|t-1|=5,

解得t=-4或t=6,所以点P的坐标为(-4,-4)或(6,6).

(2)由l2∥l3得a=-4,

∴l2:2x+y-3=0,l3:-4x-2y+4=0,即2x+y-2=0.

∴l2与l3的距离d=.

12.

(选做题)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(2,3).

(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标;

(2)在△ACD中,求CD边上的高所在直线方程;

(3)求四边形ABCD的面积.

解(1)依题意得,线段AC中点为,4,点,4也为线段BD中点,设D(x,y),因为B(-2,-1),则可得D(3,9).

(2)因为kCD=6,所以CD边上的高的斜率为-,又CD边上的高过点A,所以CD边上的高所在的直线方程为y-5=-(x+1),即y=-;

(3)因为BC:x-y+1=0,所以点A(-1,5)到BC

的距离为,又因为BC=4,所以四边形ABCD的面积为×4=20.