高中数学人教版新课标A必修24.2 直线、圆的位置关系练习题

4.2　直线、圆的位置关系

4.2.1　直线与圆的位置关系

课后篇巩固提升

基础巩固

1.已知直线l:ax-y-a+3=0和圆C:x2+y2-4x-2y-4=0,则直线l和圆C的位置关系是(　　)

A.相交 B.相切

C.相离 D.都有可能

解析把圆的方程化为(x-2)2+(y-1)2=9,直线方程化为a(x-1)=y-3恒过定点(1,3),而(1,3)在圆C的内部,则直线l和圆C相交,故选A.

答案A

2.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是(　　)

A.-2或12 B.2或-12

C.-2或-12 D.2或12

解析圆的方程为x2+y2-2x-2y+1=0,

可化为(x-1)2+(y-1)2=1.

由圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为=1,得b=2或b=12,故选D.

答案D

3.若过点A(3,0)的直线l与曲线(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l斜率的取值范围为(　　)

A.(-) B.[-]

C.- D.

解析设直线l的方程为y=k(x-3),代入曲线方程,整理得(k2+1)x2-(6k2+2)x+9k2=0,所以Δ=(6k2+2)2-4(k2+1)·9k2=4(1-3k2)≥0,解得-≤k≤,故选D.

答案D

4.(2018·全国3,文8)直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(　　)

A.[2,6] B.[4,8]

C.[,3] D.[2,3]

解析设圆心到直线AB的距离d==2.

点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即≤d'≤3.

又AB=2,∴S△ABP=·|AB|·d'=d',

∴2≤S△ABP≤6.

答案A

5.由直线y=x-1上的一点向圆C:x2+y2-6x+8=0引切线,则切线长的最小值为(　　)

A.1 B. C. D.2

解析在直线y=x-1上取一点P,过P向圆引切线,设切点为A.连接CA.在Rt△PAC中,|CA|=r=1.要使|PA|最小,则|PC|应最小.又当PC与直线垂直时,|PC|最小,其最小值为.故|PA|的最小值为=1.

答案A

6.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(　　)

A.-或- B.-或-

C.-或- D.-或-

解析由已知得点(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3),由入射光线与反射光线的对称性知,反射光线一定过点(2,-3).设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切,则有d==1,解得k=-或k=-,故选D.

答案D

7.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是(　　)

A.6 B.3 

C.2 D.8

解析∵圆的方程为x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,∴圆心为(0,3),半径为3,而直线y=kx+3过定点(0,3),过圆心,故直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长即为直径6.

答案A

8.设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2-2x-3=0相交于点A,B,则弦AB的垂直平分线的方程是　. 

解析易知所求直线过圆心且与AB垂直,

圆心坐标为(1,0).

设所求直线方程为3x-2y+c=0,

则3×1-2×0+c=0,c=-3.

即所求直线方程为3x-2y-3=0.

答案3x-2y-3=0

9.已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,求直线l斜率k的取值范围.

解圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,

设直线方程是y=k(x+2),即kx-y+2k=0,

根据点到直线的距离公式,得<1,

即k2<,解得-<k<,

即为直线l斜率的取值范围.

能力提升

1.已知直线ax+by+c=0(ab≠0)与圆x2+y2=1相切,则三边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.不存在

解析由题意知,=1,∴a2+b2=c2,因此三角形为直角三角形.

答案B

2.过点(2,1)的直线中被圆(x-1)2+(y+2)2=5截得的弦长最大的直线方程是(　　)

A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0

C.x+3y-5=0 D.x-3y+5=0

解析∵过点(2,1)的直线中被圆(x-1)2+(y+2)2=5截得的弦长最大的直线经过圆心,∴该直线过点(2,1)和圆心(1,-2),其方程为,整理得3x-y-5=0.故选A.

答案A

3.若直线mx+2ny-4=0(m,n∈R,n≠m)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长,则mn的取值范围是(　　)

A.(0,1) B.(0,-1)

C.(-∞,1) D.(-∞,-1)

解析圆x2+y2-4x-2y-4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=9,直线mx+2ny-4=0始终平分圆周,即直线过圆心(2,1),所以2m+2n-4=0,即m+n=2,mn=m(2-m)=-m2+2m=-(m-1)2+1≤1,当m=1时等号成立,此时n=1,与“m≠n”矛盾,所以mn<1.

答案C

4.过点P(3,5)引圆(x-1)2+(y-1)2=4的切线,则切线长为　　　　. 

解析由圆的标准方程(x-1)2+(y-1)2=4,

得到圆心A坐标(1,1),半径r=|AB|=2,

又点P(3,5)与A(1,1)的距离|AP|==2,

由直线PB为圆A的切线,得到△ABP为直角三角形,

根据勾股定理得:|PB|==4.则切线长为4.

答案4

5.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为　　　　　. 

解析如图所示,∠CAB=∠BAD=30°,

∴直线l的倾斜角θ的取值范围为0°≤θ≤30°或150°≤θ<180°.

∴直线l的斜率的取值范围为.

答案

6.已知两点O(0,0),A(6,0),圆C以线段OA为直径,

(1)求圆C的方程;

(2)若直线l1的方程为x-2y+4=0,直线l2平行于l1,且被圆C截得的弦MN的长是4,求直线l2的方程.

解(1)依题意知:圆C的半径r==3,

圆心坐标为(3,0),故圆C的方程为(x-3)2+y2=9.

(2)∵直线l2平行于l1,直线l1的方程为x-2y+4=0,

∴设直线l2的方程为x-2y+C=0,

又∵弦长MN=4,圆的半径为3,故圆心C到直线l2的距离d=,

∴|3+C|=5,得C=2或C=-8,

∴直线l2的方程为x-2y+2=0或x-2y-8=0.

7.(选做题)已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线l:y=x+m.

(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;

(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4]变化时,求m的取值范围.

解(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0<a≤4),则圆心C的坐标是(-a,a),半径为2.

直线l的方程化为x-y+4=0,则圆心C到直线l的距离是|2-a|.

设直线l被圆C所截得弦长为L,由弦长、圆心距和圆的半径之间的关系,得

L=2=2=2.

∵0<a≤4,∴当a=3时,L的最大值为2.

(2)∵直线l与圆C相切,则有=2,

即|m-2a|=2.

∵点C在直线l的上方,∴a>-a+m,即2a>m,

∴2a-m=2,∴m=(-1)2-1.

∵0<a≤4,∴0<≤2,

∴m∈[-1,8-4].