人教版新课标A必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程当堂达标检测题

这是一份人教版新课标A必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程当堂达标检测题，共8页。试卷主要包含了已知圆O，若直线x-2y-3=0与圆C，若☉O等内容，欢迎下载使用。

基础巩固
1.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥23,则k的取值范围是( )
A.-34,0
B.-∞,-34∪[0,+∞)
C.-33,33
D.-23,0
解析圆心的坐标为(3,2),且圆与x轴相切.
当|MN|=23时,弦心距最大,
由点到直线的距离公式得|3k-2+3|1+k2≤1,
解得k∈-34,0.
答案A
2.直线3x+y-23=0截圆x2+y2=4得到的劣弧所对的圆心角为( )

A.30°B.45°C.60°D.90°
解析∵圆心到直线的距离为d=232=3,圆的半径为2,
∴劣弧所对的圆心角为60°.
答案C
3.已知圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2-6x+6y+14=0关于直线l对称,则直线l的方程是( )
A.x-2y+1=0B.2x-y-1=0
C.x-y+3=0D.x-y-3=0
解析圆x2+y2=4的圆心是O(0,0),圆x2+y2-6x+6y+14=0的圆心是C(3,-3),所以直线l是OC的垂直平分线.又直线OC的斜率kOC=-1,所以直线l的斜率k=1,OC的中点坐标是32,-32,所以直线l的方程是y+32=x-32,即x-y-3=0.
答案D
4.圆x2+y2-4x+6y-12=0过点(-1,0)的最大弦长为m,最小弦长为n,则m-n=( )
A.10-27B.5-7
C.10-33D.5-322
解析圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=25,圆心(2,-3)到(-1,0)的距离为(0+3)2+(-1-2)2=32<5.∴最大弦长为直径,即m=10,最小弦长为以(-1,0)为中点的弦,即n=252-(32)2=27.∴m-n=10-27.
答案A
5.圆x2+y2=4上与直线l:4x-3y+12=0距离最小的点的坐标是( )
A.85,65B.85,-65
C.-85,65D.-85,-65
解析圆的圆心(0,0),过圆心与直线4x-3y+12=0垂直的直线方程为3x+4y=0.
3x+4y=0与x2+y2=4联立可得x2=6425,所以它与x2+y2=4的交点坐标是-85,65,85,-65.又圆上一点与直线4x-3y+12=0的距离最小,所以所求的点的坐标为-85,65.
答案C
6.若直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△ECF的面积为 .
解析圆心C(2,-3)到直线x-2y-3=0的距离为d=55=5,又知圆C的半径长为3,∴|EF|=232-(5)2=4,∴S△ECF=12·|EF|·d=12×4×5=25.
答案25
7.若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是 .
解析两圆圆心分别为O(0,0),O1(m,0),
且5<|m|<35.
又易知OA⊥O1A,∴m2=(5)2+(25)2=25,
∴m=±5,∴|AB|=2×5×255=4.
答案4
8.已知点P(x,y)在圆x2+y2-6x-6y+14=0上.
(1)求yx的最大值和最小值;
(2)求x2+y2+2x+3的最大值与最小值.
解(1)圆x2+y2-6x-6y+14=0即为(x-3)2+(y-3)2=4,可得圆心为C(3,3),半径为r=2.
设k=yx,即kx-y=0,
则圆心到直线的距离d≤r,即|3k-3|1+k2≤2,
平方得5k2-18k+5≤0,
解得9-2145≤k≤9+2145.
故yx的最大值是9+2145,最小值为9-2145.
(2)x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2表示点(x,y)与A(-1,0)的距离的平方加上2.
连接AC,交圆C于B,延长AC,交圆于D,
可得AB为最短,且为|AC|-r=16+9-2=3;
AD为最长,且为|AC|+r=5+2=7,
则x2+y2+2x+3的最大值为72+2=51,
x2+y2+2x+3的最小值为32+2=11.
9.有一种大型商品,A,B两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,每千米的运费A地是B地的两倍,若A,B两地相距10千米,顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点?
解以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,如图所示.
设A(-5,0),则B(5,0).
在坐标平面内任取一点P(x,y),设从A地运货到P地的运费为2a元/千米,则从B地运货到P地的运费为a元/千米.
若P地居民选择在A地购买此商品,
则2a(x+5)2+y2整理得x+2532+y2<2032.
即点P在圆C:x+2532+y2=2032的内部.
也就是说,圆C内的居民应在A地购物.
同理可推得圆C外的居民应在B地购物.
圆C上的居民可随意选择A,B两地之一购物.
能力提升
1.已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是( )
A.62-2B.8
C.46D.10
解析易知点A关于x轴对称点A'(-1,-1),A'与圆心(5,7)的距离为(5+1)2+(7+1)2=10.故所求最短路程为10-2=8.
答案B
2.直线y=x+b与曲线x=1-y2有且仅有一个公共点,则实数b的取值范围是( )
A.b=2
B.-1C.-1≤b≤1
D.以上都不正确
解析如图,作半圆的切线l1和经过端点A,B的直线l3,l2,
由图可知,当直线y=x+b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3,不包括l2)时,满足题意.
∵l1与半圆相切,
∴b=-2;
当直线y=x+b位于l2时,b=-1;
当直线y=x+b位于l3时,b=1.
∴b的取值范围是-1答案B
3.已知x+y+1=0,则(x+2)2+(y+3)2的最小值是 .
解析(x+2)2+(y+3)2表示点(x,y)与点(-2,-3)之间的距离,又点(x,y)在直线x+y+1=0上,故最小值为点(-2,-3)到直线x+y+1=0的距离,即d=|-2-3+1|2=22.
答案22
4.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .
解析圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离为d=|a+a-2|a2+1.因为△ABC为等边三角形,所以|AB|=|BC|=2,所以|a+a-2|a2+12+12=22,解得a=4±15.
答案4±15
5.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a= .
解析由题意可知,直线x-y+2=0过圆心-1,-a2,所以-1--a2+2=0,a=-2.
答案-2
6.某高速公路隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成(如图所示).已知隧道总宽度AD为63 m,行车道总宽度BC为211 m,侧墙面高EA,FD为2 m,弧顶高MN为5 m.
(1)建立适当的直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程.
(2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少.
解(1)以EF所在直线为x轴,以MN所在直线为y轴,以1m为单位长度建立直角坐标系xOy,则E(-33,0),F(33,0),M(0,3),由于所求圆的圆心在y轴上,所以设圆的方程为(x-0)2+(y-b)2=r2,因为F,M在圆上,所以(33)2+b2=r2,02+(3-b)2=r2,解得b=-3,r2=36,所以圆的方程为x2+(y+3)2=36.
(2)设限高为h,作CP⊥AD,交圆弧于点P,则|CP|=h+0.5,将P的横坐标x=11代入圆的方程,得(11)2+(y+3)2=36,得y=2或y=-8(舍),所以h=|CP|-0.5=(y+|DF|)-0.5=(2+2)-0.5=3.5(m).
所以车辆通过隧道的限制高度是3.5米.
7.在Rt△ABO中,∠BOA=90°,|OA|=8,|OB|=6,点P为它的内切圆C上任一点,求点P到顶点A,B,O的距离的平方和的最大值和最小值.
解如图所示,以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系xOy,则A(8,0),B(0,6),内切圆C的半径r=12×6×812×(6+8+10)=2.
∴圆心坐标为(2,2).
∴内切圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.
设P(x,y)为圆C上任一点,点P到顶点A,B,O的距离的平方和为d,
则d=|PA|2+|PB|2+|PO|2
=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2
=3x2+3y2-16x-12y+100
=3[(x-2)2+(y-2)2]-4x+76.
∵点P(x,y)在圆上,∴(x-2)2+(y-2)2=4.
∴d=3×4-4x+76=88-4x.
∵点P(x,y)是圆C上的任意点,
∴x∈[0,4].
∴当x=0时,dmax=88;当x=4时,dmin=72.