高中数学第四章导数应用4.1.2函数的极值训练含解析北师大版选修1_1

1.2　函数的极值

A组

1.若函数f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6,则a的值是 (　　)

A.0 B.1

C.5 D.6

解析:∵f(x)=2x3-3x2+a,

∴f'(x)=6x2-6x=6x(x-1).

令f'(x)=0,得x=0或x=1,经判断易知极大值为f(0)=a=6.

答案:D

2.函数y=x4-x3的极值点的个数为(　　)

A.0 B.1

C.2 D.3

解析:y'=x3-x2=x2(x-1),

由y'=0得x1=0,x2=1.

当x变化时,y',y的变化情况如下表:

因此函数只有一个极值点.

答案:B

3.下列函数中,x=0是其极值点的是(　　)

A.y=-x3 B.y=-cos x

C.y=sin x-x D.y=

解析:A.y'=-3x2≤0恒成立,所以函数在R上是减少的,无极值点.

B.y'=sinx,当-π<x<0时函数是减少的,当0<x<π时函数是增加的,且当x=0时,y'=0,故B符合.

C.y'=cosx-1≤0恒成立,所以函数在R上是减少的,无极值点.

D.x=0不在y=的定义域内.

答案:B

4.已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值,则实数m的取值范围是(　　)

A.(-1,2)

B.(-∞,-3)∪(6,+∞)

C.(-3,6)

D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

解析:由已知得方程f'(x)=0,即3x2+2mx+(m+6)=0有两个不同的实数根,由Δ>0得m的取值范围为(-∞,-3)∪(6,+∞).

答案:B

5.已知a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,若t=ab,则t的最大值为(　　)

A.2 B.3

C.6 D.9

解析:∵f(x)=4x3-ax2-2bx+2,

∴f'(x)=12x2-2ax-2b.

又f(x)在x=1处取得极值,

∴f'(1)=12-2a-2b=0,a2+24b>0.

∴a+b=6,∴t=ab≤=9(当且仅当a=b=3时等号成立),∴tmax=9,故选D.

答案:D

6.函数f(x)=(a∈R)的极大值等于　　　　　. 

解析:f'(x)=,

令f'(x)=0,得x=e1-a,当0<x<e1-a时,f'(x)>0;

当x>e1-a时,f'(x)<0,

所以函数的极大值等于f(e1-a)==ea-1.

答案:ea-1

7.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为　　　　　. 

解析:由题意,f'(x)=3x2+2x-a,则f'(-1)f'(1)<0,即(1-a)(5-a)<0,解得1<a<5,另外,当a=1时,函数f(x)=x3+x2-x-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,当a=5时,函数f(x)=x3+x2-5x-4在区间(-1,1)没有极值点.故实数a的取值范围为[1,5).

答案:[1,5)

8.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1处取得极值.

(1)求a,b的值;

(2)求函数的另一个极值.

解(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+4,

所以f'(x)=3x2+2ax+b.

依题意可得f'(1)=0,f(1)=,

即解得a=-,b=-2.

(2)由(1)知f(x)=x3-x2-2x+4,f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1).

令f'(x)=0,得x=-或x=1,

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

所以函数的另一个极值在x=-处取得,是极大值,极大值为f.

9.导学号01844045已知二次函数f(x)=ax2+bx-1在x=-1处取得极值,且f(x)的图像在点(0,-1)处的切线与直线2x-y=0平行.

(1)求f(x)的解析式;

(2)求函数g(x)=xf(x)+2x的极值.

解(1)由f(x)=ax2+bx-1,得f'(x)=2ax+b.

由题设,可得

即

解得

所以f(x)=x2+2x-1.

(2)由(1),得g(x)=xf(x)+2x=x3+2x2+x,

所以g'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1).

令g'(x)=0,解得x=-1或x=-,

当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:

所以g(x)的极大值为g(-1)=-1+2-1=0,极小值为g=-=-.

B组

1.设函数f(x)=xex,则(　　)

A.x=1为f(x)的极大值点

B.x=1为f(x)的极小值点

C.x=-1为f(x)的极大值点

D.x=-1为f(x)的极小值点

解析:求导得f'(x)=ex+xex=ex(x+1),令f'(x)=ex(x+1)=0,解得x=-1,当x<-1时,f'(x)<0;当x>-1时,f'(x)>0,从而x=-1是函数f(x)的极小值点.

答案:D

2.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图像与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为(　　)

A.,0 B.0,

C.-,0 D.0,-

解析:f'(x)=3x2-2px-q,

由f'(1)=0,f(1)=0,得

解得

∴f(x)=x3-2x2+x.

由f'(x)=3x2-4x+1=0,得x=或x=1,

易得当x=时f(x)取极大值.

当x=1时f(x)取极小值0.

答案:A

3.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是(　　)

A.-1<a<2 B.-3<a<6

C.a<-1或a>2 D.a<-3或a>6

解析:f'(x)=3x2+2ax+a+6,

∵f(x)有极大值与极小值,

∴f'(x)=0有两不等实根,

∴Δ=4a2-12(a+6)>0,

∴a<-3或a>6.

答案:D

4.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图像有相异的三个公共点,则a的取值范围是　　　　　. 

解析:f'(x)=3x2-3,由3x2-3=0得x=1或x=-1,当x<-1,或x>1时,f'(x)>0,f(x)是增加的;当-1<x<1时,f'(x)<0,f(x)是减少的.

∴当x=-1时,f(x)取到极大值f(-1)=2,当x=1时,f(x)取到极小值f(1)=-2,

∴欲使直线y=a与函数f(x)的图像有相异的三个公共点,应有-2<a<2.

答案:(-2,2)

5.已知实数a,b,c,d成等比数列,且曲线y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),则ad=　　　　　. 

解析:y'=3-3x2,令y'=0得x=±1,

且当x>1时,y'<0,当-1≤x≤1时,y'≥0,

当x<-1时,y'<0,

故x=1为y=3x-x3的极大值点,即b=1.

∵c=3b-b3=3×1-1=2,

∴bc=2.

又∵a,b,c,d成等比数列,

∴ad=bc=2.

答案:2

6.导学号01844046(2015重庆高考)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值.

(1)确定a的值;

(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.

解(1)对f(x)求导得f'(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-处取得极值,所以f'=0,

即3a·+2·=0,

解得a=.

(2)由(1)得g(x)=ex,

故g'(x)=ex+ex

=ex

=x(x+1)(x+4)ex.

令g'(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.

当x<-4时,g'(x)<0,故g(x)是减少的;

当-4<x<-1时,g'(x)>0,故g(x)是增加的;

当-1<x<0时,g'(x)<0,故g(x)是减少的;

当x>0时,g'(x)>0,故g(x)是增加的.

综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)上是减少的,在(-4,-1)和(0,+∞)上是增加的.

7.导学号01844047设函数f(x)=x3+bx2+cx+d(a>0),且方程f'(x)-9x=0的两个根分别为1,4.

(1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;

(2)若f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求a的取值范围.

解由f(x)=x3+bx2+cx+d,得f'(x)=ax2+2bx+c.

因为f'(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两个根分别为1,4,所以(*)

(1)当a=3时,由(*)式得

解得b=-3,c=12.

又因为曲线y=f(x)过原点,所以d=0.

故f(x)=x3-3x2+12x.

(2)因为a>0,所以“f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“f'(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)内恒成立”.

由(*)式得2b=9-5a,c=4a.

又Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9),

解得a∈[1,9],

即a的取值范围是[1,9].