高考数学一轮复习第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积课时规范练含解析文北师大版

第七章　立体几何

第二节　空间几何体的表面积与体积

课时规范练

A组——基础对点练

1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为(　　)

A.π　　　　　　　 B.π

C．16π  D．24π

解析：设球的半径为R，∵表面积是16π，

∴4πR2＝16π，解得R＝2.∴体积为πR3＝.故选B.

答案：B

2．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V＝×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为(　　)

A．3  B．3.1

C．3.14  D．3.2

解析：∵圆堡瑽(圆柱体)的体积为V＝×(底面圆的周长的平方×高)，

∴×(2πr)2×h＝πr2×h，解得π＝3.故选A.

答案：A

3．(2020·江西七校联考)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是(　　)

A．48＋π  B．48－π

C．48＋2π  D．48－2π

解析：该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋4π×12÷2＝48＋π，故选A.

答案：A

4．某几何体的主视图和左视图如图(1)，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图(2)，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为(　　)

图(1)

图(2)

A．48  B．64

C．96  D．128

解析：由题图(2)及斜二测画法可知原俯视图为如图所示的平行四边形OABC，设CB与y轴的交点为D，则易知CD＝2，OD＝2×2＝4，∴CO＝＝6＝OA，∴俯视图是以6为边长的菱形，由三视图知几何体为一个直四棱柱，其高为4，∴该几何体的侧面积为4×6×4＝96.故选C.

答案：C

5．(2018·高考全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D­ABC体积的最大值为(　　)

A．12  B．18

C．24  D．54

解析：由等边△ABC的面积为9可得AB2＝9，

∴AB＝6，∴等边△ABC的外接圆的半径为r＝2.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2.∴三棱锥D­ABC高的最大值为2＋4＝6，∴三棱锥D­ABC体积的最大值为×9×6＝18.故选B.

答案：B

6．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB上的动点，记四面体EFMC的体积为V1，多面体ADF­BCE的体积为V2，则＝(　　)

A.  B．

C.  D．随点M位置的变化而变化

解析：由三视图可知多面体ADF­BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a)，且四边形DFEC与四边形ABCD都是正方形，它们的边长均为a.

∵M是AB上的动点，且易知AB∥平面DFEC，∴点M到平面DFEC的距离等于点B到平面DFEC的距离，为a，

∴V1＝VM­EFC＝×a·a·a＝.

又V2＝a·a·a＝，

故＝＝，故选B.

答案：B

7．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥P­ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为(　　)

A．8π  B．4π

C．2π  D.π

解析：设PA＝x，则cos∠APC＝

＝＝，

∴CE2＝PE2＋PC2－2PE·PC·cos∠APC＝＋x2－2··x·＝＋2.

∵∠CEF＝90°，EF＝PB＝，CF＝，

∴CE2＋EF2＝CF2，即＋2＋＝3，解得x＝，

∴PA＝PB＝PC＝，又AB＝BC＝AC＝2，

易知PA，PB，PC两两相互垂直，

故三棱锥P­ABC的外接球的半径为，

∴三棱锥P­ABC的外接球的体积为π·＝π，故选D.

答案：D

8．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．

解析：设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为h，

因为母线SA与底面所成的角为30°，所以l＝r.

由△SAB的面积为8得l2＝8，

即×r2＝8，所以r2＝12，h＝r＝2.

所以圆锥的体积为πr2h＝π×12×2＝8π.

答案：8π

9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线与粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为________．

解析：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O­ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点．根据几何体可以判断：球心应该在过A，D且平行于正方体底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为2－x，

∴R2＝x2＋()2，R2＝12＋(2－x)2，解得x＝，R＝，

故该多面体外接球的表面积为4πR2＝π.

答案：π

10．如图，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．

(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；

(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．

解析：(1)由题意，可知圆柱的高为＝1.2－2r(米)，

∴塑料片面积S＝πr2＋2πr(1.2－2r)

＝πr2＋2.4πr－4πr2＝－3πr2＋2.4πr

＝－3π(r2－0.8r)．

∴当r＝0.4米时，

S有最大值，约为1.51平方米．

(2)若灯笼底面半径为0.3米，

则高为1.2－2×0.3＝0.6(米)．

制作灯笼的三视图如图所示．

B组——素养提升练

11．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用的材料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________ g.

解析：由题意得，SEFGH＝4×6－4××2×3＝12 cm2，

四棱锥O­EFG的高3 cm，∴VO­EFGH＝×12×3＝12 cm3.

又长方体ABCD­A1B1C1D1的体积为V2＝4×6×6＝144 cm3，

所以该模型体积为V＝V2－V1＝144－12＝132 cm3，其质量为0.9×132＝118.8 g.

答案：118.8

12．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________．

答案：4

13．如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝2，EB＝.

(1)求证：DE⊥平面ACD；

(2)设AC＝x，V(x)表示三棱锥B­ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值．

解析：(1)证明：∵四边形DCBE为平行四边形，

∴CD∥BE，BC∥DE.

∵DC⊥平面ABC，

BC平面ABC，

∴DC⊥BC.

∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，

且DC∩AC＝C，

∴BC⊥平面ADC.

∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC.

(2)∵DC⊥平面ABC，

∴BE⊥平面ABC.

在Rt△ABE中，

AB＝2，EB＝.

在Rt△ABC中，

∵AC＝x，BC＝(0<x<2)，

∴S△ABC＝AC·BC＝x·，

∴V(x)＝VE－ABC＝x·(0<x<2)．

∵x2(4－x2)≤＝4，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，取等号，

∴当x＝时，体积有最大值.