高考数学一轮复习第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率直线的方程课时规范练含解析文北师大版

第八章　平面解析几何

第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

课时规范练

A组——基础对点练

1．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点在同一条直线上，则m的值为(　　)

A．－2　　　　　　　　 B．2

C．－  D.

解析：因为A，B，C三点在同一条直线上，所以kAB＝kAC，所以＝，解得m＝.故选D.

答案：D

2．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)

A.x－y＋1＝0  B．x－y－＝0

C.x＋y－＝0  D.x＋y＋＝0

解析：因为直线的倾斜角为120°，所以斜率k＝－，

又由题意知直线过点(－1，0)，所以直线方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.

答案：D

3．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足(　　)

A．a＋b＝1  B．a－b＝1

C．a＋b＝0  D.a－b＝0

解析：因为sin α＋cos α＝0，

所以tan α＝－1.

又因为α为倾斜角，所以斜率k＝－1.

而直线ax＋by＋c＝0的斜率k＝－，

所以－＝－1，即a－b＝0.

答案：D

4．(2020·开封模拟)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－的直线方程为(　　)

A．3x＋4y＋15＝0  B．3x＋4y＋6＝0

C．3x＋y＋6＝0  D.3x－4y＋10＝0

解析：设所求直线的斜率为k，依题意k＝－，又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.

答案：A

5．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是(　　)

A．－1＜k＜  B．k＞1或k＜

C．k＞1或k＜  D.k＞或k＜－1

解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，

令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，

则－3＜1－＜3，解得k＞或k＜－1.

答案：D

6．(2020·张家口模拟)若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则(　　)

A．m＝－，n＝1  B．m＝－，n＝－3

C．m＝，n＝－3  D.m＝，n＝1

答案：D

7．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)

A．3x－y－6＝0  B．3x＋y＋6＝0

C．3x－y＋6＝0  D.3x＋y－6＝0

解析：因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.

答案：C

8．已知直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，直线都通过定点(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：直线方程可化为2x＋1－m(y＋3)＝0，

令得

∴直线恒过定点.故选D.

答案：D

9．过点(1，2)，倾斜角的正弦值是的直线方程是________．

解析：由题意知，直线的倾斜角为或，所以斜率为1或－1，直线方程为y－2＝x－1或y－2＝－(x－1)，即x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.

答案：x－y＋1＝0或x＋y－3＝0

10．经过点(－4，3)且在两坐标轴上的截距相等，且不过原点的直线方程为________．

解析：由题意可设方程为x＋y＝a(a≠0)，

所以a＝－4＋3＝－1.

所以直线方程为x＋y＋1＝0.

答案：x＋y＋1＝0

B组——素养提升练

11．若直线l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，则当△AOB的面积取最小值时直线l的方程为(　　)

A．x－2y＋4＝0  B．x－2y＋8＝0

C．2x－y＋4＝0  D.2x－y＋8＝0

解析：由l的方程，得A，B(0，2＋4k)．依题意得解得k＞0.因为S＝|OA|·|OB|＝·|2＋4k|＝＝≥×(2×8＋16)＝16.当且仅当16k＝，即k＝时，等号成立．此时l的方程为x－2y＋8＝0.

12．设直线l的方程为x＋ycos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)

A．[0，π)  B．

C.  D.∪

解析：当cos θ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角为；

当cos θ≠0时，由直线l的方程，可得斜率k＝－.

因为cos θ∈[－1，1]且cos θ≠0，

所以k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，

即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，

又α∈[0，π)，所以α∈∪，

综上知，直线l的倾斜角α的取值范围是.

答案：C

13．(2020·西安临潼区模拟)已知直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)，当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是(　　)

A．0  B．2

C.  D.1

解析：直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)在x轴，y轴上的截距分别为a和，此直线在x轴，y轴上的截距和为a＋≥2，当且仅当a＝1时，等号成立．故当直线x＋a2y－a＝0在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是1，故选D.

答案：D

14．若直线y＝kx＋1与以A(3，2)，B(2，3)为端点的线段有公共点，则k的取值范围是________．

解析：由题可知直线y＝kx＋1过定点P(0，1)，且kPB＝＝1，kPA＝＝，结合图像可知，当直线y＝kx＋1与以A(3，2)，B(2，3)为端点的线段有公共点时，k的取值范围是.

答案：

15．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．

解析：动直线x＋my＝0(m≠0)过定点A(0，0)，动直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3)．由题意易得直线x＋my＝0与直线mx－y－m＋3＝0垂直，即PA⊥PB.所以|PA|·|PB|≤＝＝＝5，即|PA|·|PB|的最大值为5.

答案：5

16．过点P(2，1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：

(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；

(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程．

解析：(1)设所求直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1.

又∵＋≥2⇒ab≥4，

当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝ab有最小值为4.

此时，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0.

(2)∵＋＝1，

∴截距之和a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2.

此时＝，求得b＝＋1，a＝2＋.此时，直线l的方程为＋＝1，

即x＋2y－2－2＝0.