高考数学一轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆课时规范练含解析文北师大版

第八章　平面解析几何

第五节　椭 圆

课时规范练

A组——基础对点练

1．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为(　　)

A.

B．(1，2)

C．(－∞，0)∪(1，2)

D．(－∞，－1)∪

解析：依题意得不等式组

解得m＜－1或1＜m＜，故选D.

答案：D

2．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)

A．1　　　　　　　　 B．

C．2  D.2

解析：设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，×2cb＝1⇒bc＝1，2a＝2≥2＝2，当且仅当b＝c＝1时，等号成立．故选D.

答案：D

3．(2020·东北三校联考)若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为，则＝(　　)

A.　　　　　　　 B．

C.或  D.或

解析：若焦点在x轴上，则方程化为＋＝1，依题意得＝，所以＝；若焦点在y轴上，则方程化为＋＝1，同理可得＝.所以所求值为或.

答案：D

4．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线，与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点为(0，－2)，，所以S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝，故选B.

答案：B

5．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左，右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是(　　)

A．4  B．3

C．2  D.1

解析：因为(＋)·＝(＋)·＝·＝0，

所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.

设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，

m2＋n2＝12，所以mn＝2，

所以S△F1PF2＝mn＝1.

答案：D

6．(2020·林州模拟)已知椭圆E：＋＝1，直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为，则l的方程为(　　)

A．2x＋y＝0  B．x－2y－＝0

C．2x－y－2＝0  D.x－4y－＝0

答案：D

7．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：|OB|为椭圆中心到l的距离，设l与椭圆交于顶点A和焦点F，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·，所以e＝＝.故选B.

答案：B

8．已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P在椭圆上且满足·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：设P(x，y)，则＋＝1，y2＝b2－x2，－a≤x≤a，＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)．

所以·＝x2－c2＋y2＝x2＋b2－c2＝x2＋b2－c2.

因为－a≤x≤a，所以b2－c2≤·≤b2.所以b2－c2≤c2≤b2.所以2c2≤a2≤3c2.所以≤≤.故选B.

答案：B

9．已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3，0)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程为________．

解析：若焦点在x轴上，则a＝3.

由e＝得c＝.∴b2＝a2－c2＝9－5＝4.

方程为＋＝1

若焦点在y轴上，则b＝3，a2－c2＝9，又离心率e＝＝，解得a2＝，所以椭圆方程是＋＝1.

答案：＋＝1或＋＝1

10．(2020·西安检测)已知P为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1、F2是其左、右焦点，∠F1PF2取最大值时cos∠F1PF2＝，则椭圆的离心率为________．

解析：易知∠F1PF2取最大值时，点P为椭圆＋＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a2－＝4c2，即a＝c，所以椭圆的离心率e＝＝.

答案：

B组——素养提升练

11．(2020·武汉调研)已知A、B分别为椭圆＋＝1(0＜b＜3)的左、右顶点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，若点A到直线y＝x的距离为1，则该椭圆的离心率为(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：根据椭圆的标准方程＋＝1(0＜b＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，A(－3，0)，B(3，0)，设P(x0，y0)，Q(x0，－y0)，则＋＝1，kAP＝m＝，kBQ＝n＝，∴mn＝＝，∴＝，∴直线y＝x＝x，即x－3y＝0.又点A到直线y＝x的距离为1，

∴＝＝1，解得b2＝，∴c2＝a2－b2＝，∴e＝＝＝，故选B.

答案：B

12．椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交C于P，Q两点，若cos∠PAQ＝，则椭圆C的离心率e为(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：根据题意可取P(c，)，Q(c，－)，所以tan∠PAF＝＝＝＝＝1－e，cos∠PAQ＝cos 2∠PAF＝cos2∠PAF－sin2∠PAF＝＝＝＝，故5－5(1－e)2＝3＋3(1－e)2⇒8(1－e)2＝2⇒(1－e)2＝.又椭圆的离心率e的取值范围为(0，1)，所以1－e＝，e＝，故选A.

答案：A

13．(2020·泰州市模拟)已知点F，A是椭圆C：＋＝1的左焦点和上顶点，若点P是椭圆C上一动点，则△PAF周长的最大值为________．

解析：椭圆C：＋＝1，a＝4，b＝2，c＝2，则其左焦点F(－2，0)，右焦点F2(2，0)和上顶点A(0，2)．

由椭圆的定义|PF|＋|PF2|＝2a＝8，|AF|＋|AF2|＝2a＝8，∴△PAF周长l＝|AF|＋|PF|＋|PA|≤|AF|＋|PF|＋|PF2|＋|AF2|＝4a＝16，当且仅当AP过F2时△PAF周长取最大值，

∴△PAF周长的最大值16.

答案：16

14．(2020·河北三市联考)已知离心率为的椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A、B两点，|AB|＝.

(1)求此椭圆的方程；

(2)已知直线y＝kx＋2与椭圆交于C、D两点，若以线段CD为直径的圆过点E(－1，0)，求k的值．

解析：(1)设焦距为2c，

∵e＝＝，a2＝b2＋c2，∴＝，

由|AB|＝，易知＝，

∴b＝1，a＝，∴椭圆方程为＋y2＝1.

(2)将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0，解得k2>1.

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

若以CD为直径的圆过E点，则·＝0，即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，则(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝－＋5＝0，解得k＝，满足k2>1.

15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点，满足|AF2|＝c.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)M，N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，直线MP，NP分别和x轴相交于R，Q两点，O为坐标原点．若||·||＝4，求椭圆C的方程．

解析：(1)∵点A的横坐标为c，

代入椭圆，得＋＝1.

解得|y|＝＝|AF2|，即＝c，∴a2－c2＝ac.

∴e2＋e－1＝0，解得e＝.

(2)设M(0，b)，N(0，－b)，P(x0，y0)，

则直线MP的方程为y＝x＋b.

令y＝0，得点R的横坐标为.

直线NP的方程为y＝x－b.

令y＝0，得点Q的横坐标为.

∴||·||＝＝＝a2＝4，∴c2＝3，b2＝1，

∴椭圆C的方程为＋y2＝1.