高考数学一轮复习第十章选修系列选修4_5不等式选讲课时规范练含解析文北师大版

第十章  选修系列

选修4－5　不等式选讲

课时规范练

1．解不等式|x＋1|＋|x－1|≤2.

解析：当x＜－1时，

原不等式可化为－x－1＋1－x≤2，

解得x≥－1，又因为x＜－1，故无解；

当－1≤x≤1时，

原不等式可化为x＋1＋1－x＝2≤2，恒成立；

当x＞1时，

原不等式可化为x＋1＋x－1≤2，

解得x≤1，又因为x＞1，故无解；

综上，不等式|x＋1|＋|x－1|≤2的解集为[－1，1]．

2．若x∈[－1，1]，|y|≤，|z|≤，求证：|x＋2y－3z|≤.

证明：因为x∈[－1，1]，|y|≤，|z|≤，

所以|x＋2y－3z|≤|x|＋2|y|＋3|z|≤1＋2×＋3×＝，所以|x＋2y－3z|≤成立．

3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2.

(1)求证：a2＋b2≥2；

(2)求证： ≥1＋.

证明：(1)a2＋b2≥(a＋b)2＝2.

(2)因为＋＝×＝＋＋≥＋＝，当且仅当a＝4－2，b＝2－2时取等号，所以 ≥1＋.

4．(2020·湖北五校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.

(1)解不等式f(x)＜|x|＋1；

(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：f(x)＜1.

解析：(1)∵f(x)＜|x|＋1，

∴|2x－1|＜|x|＋1，

即

或或

得≤x＜2或0＜x＜或无解．

故不等式f(x)＜|x|＋1的解集为{x|0＜x＜2}．

(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×＋＝＜1.

故不等式f(x)＜1得证．

5．已知函数f(x)＝|2x－1|.

(1)解关于x的不等式f(x)－f(x＋1)≤1；

(2)若关于x的不等式f(x)＜m－f(x＋1)的解集不是空集，求m的取值范围．

解析：(1)f(x)－f(x＋1)≤1⇔|2x－1|－|2x＋1|≤1，

则或

或

解得x≥或－≤x＜，即x≥－，

所以原不等式的解集为.

(2)由条件知，不等式|2x－1|＋|2x＋1|＜m有解，

则m＞(|2x－1|＋|2x＋1|)min即可．

由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋(2x＋1)|＝2，当且仅当(1－2x)(2x＋1)≥0，即x∈时等号成立，故m＞2.所以m的取值范围是(2，＋∞)．

6．已知f(x)＝|x－2|.

(1)解不等式f(x)＋1＞f(2x)；

(2)若f(m)≤1，f(2n)≤2，求|m－2n－1|的最大值，并求此时实数m，n的取值．

解析：(1)原不等式等价于|x－2|＋1＞2|x－1|，

∴或

或，

∴－1＜x＜1或1≤x＜或∅，∴原不等式的解集为.

(2)由题意得f(m)＝|m－2|≤1，f(2n)＝|2n－2|≤2，

∴|n－1|≤1，

∴|m－2n－1|＝|(m－2)－2(n－1)－1|≤|m－2|＋2|n－1|＋1≤4，

当且仅当时，|m－2n－1|取得最大值4.

7．已知函数f(x)＝|x－1|－|x＋2|.

(1)若不等式f(x)≤|a＋1|恒成立，求a的取值范围；

(2)求不等式|f(x)－|x＋2||＞3的解集．

解析：(1)f(x)＝|x－1|－|x＋2|≤|(x－1)－(x＋2)|＝3，

由f(x)≤|a＋1|恒成立得|a＋1|≥3，即a＋1≥3或a＋1≤－3，得a≥2或a≤－4.

∴a的取值范围是(－∞，－4]∪[2，＋∞)．

(2)不等式|f(x)－|x＋2||＝||x－1|－2|x＋2||＞3等价于|x－1|－2|x＋2|＞3或|x－1|－2|x＋2|＜－3，

令g(x)＝|x－1|－2|x＋2|＝.

由x＋5＝－3得x＝－8，

由－3x－3＝－3得x＝0，

作出g(x)的图像如图所示，

由图可得原不等式的解集为{x|x＜－8或x＞0}．

8．(2020·沈阳质检)已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；

(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．

解析：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋3x.

由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|≥|2x＋1|，两边平方，化简整理得x2＋2x≤0，

解得－2≤x≤0，

∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．

(2)由|x－a|＋3x≤0，

可得或

即或

当a＞0时，不等式的解集为.

由－＝－1，得a＝2.

当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤0}，不合题意．

当a＜0时，不等式的解集为.

由＝－1，得a＝－4.

综上，a＝2或a＝－4.