高考数学经典例题专题四平面向量与不等式含解析

平面向量与不等式

一、单选题

1．已知向量，则（   ）

A． B．2

C．5 D．50

【答案】A

【解析】

由已知，，

所以，

故选A

2．已知向量，，若向量与向量共线，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

由向量坐标运算得到，根据向量共线可构造方程求得，由模长的坐标运算得到结果.

【详解】

，又向量与向量共线，

，解得：，.

故选：B.

【点睛】

结论点睛：若与共线，则.

3．在中，D是AB边上的中点，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

根据向量的加减法运算法则算出即可.

【详解】

故选：C

4.已知均为单位向量，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由两边平方得，又因为可得，再计算即可得结果．

【详解】

由得

因为均为单位向量，则，所以，

又，所以

故选：C．

5．已知是相互垂直的单位向量，与共面的向量满足则的模为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

根据是相互垂直的单位向量，利用坐标法以及数量积的坐标表示，建立方程进行求解即可.

【详解】

是相互垂直的单位向量，

不妨设，，

设，由

可得，即，

则的模为.

故选：D

6．若实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小值从而确定目标函数的取值范围即可.

【详解】

绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，

联立直线方程：，可得点A的坐标为：，

据此可知目标函数的最小值为：

且目标函数没有最大值.

故目标函数的取值范围是.

故选：B.

7．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（    ）

A． B． C．  D．

【答案】D

【解析】

根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.

【详解】

由已知可得：.

A：因为，所以本选项不符合题意；

B：因为，所以本选项不符合题意；

C：因为，所以本选项不符合题意；

D：因为，所以本选项符合题意.

故选：D.

8．已知向量 ，满足，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.

【详解】

，，，.

，

因此，.

故选：D.

9．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.

【详解】

的模为2，根据正六边形的特征，

可以得到在方向上的投影的取值范围是，

结合向量数量积的定义式，

可知等于的模与在方向上的投影的乘积，

所以的取值范围是，

故选：A.

10．若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值为（   ）

A．−7 B．1 C．5 D．7

【答案】C

【解析】

由题意作出可行域如图阴影部分所示.

设,

当直线经过点时,取最大值5.故选C.

11．设，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由已知得且，然后结合基本不等式与中间值1比较，用不等式的性质比较大小可得．

【详解】

易知：,，，，显然成立.

所以．

故选：C．

12．已知是平面向量，满足，且，记与的夹角为，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

先给两边平方然后展开，代入，得到，然后利用，然后当时，求解的最小值.

【详解】

由得，，所以.

则

令函数，因为在上单调递减.

又因为，故当时，取得最小值，最小值为.

故选：B

【点睛】

本题考查向量间夹角余弦值的取值范围的计算问题，解答的一般思路为：当已知，和(其中为常数)时，一般采用平方法，得到然后展开，得到的值.

13．已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（    ）

A．不存在有序数组，使得

B．存在唯一有序数组，使得

C．有且只有两组有序数组，使得

D．存在无穷多组有序数组，使得

【答案】D

【解析】

根据，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．

【详解】

由题意不等式的解集为，

即的解集是，

则不等式的解是或，不等式的解集是，

设，，，

所以，，

和是方程的两根，

则，，

又，

所以是的一根，

所以存在无数对，使得．

故选：D．

14．已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（    ）

A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0

【答案】C

【解析】

对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.

【详解】

因为，所以且，设，则的零点

为

当时，则，，要使，必有，且，

即，且，所以；

当时，则，，要使，必有.

综上一定有.

故选：C

15．已知，则的最小值是（    ）

A． B．3 C． D．4

【答案】B

【解析】

将，变形为，令，根据确定，得到，然后由，，进一步确定，然后由，利用三角函数性质求解.

【详解】

因为，

，

令，

则，

因为，

所以，即，

解得，

所以，

，

，

，

因为，

所以，

因为，

所以，

解得，

所以，则，

所以，

所以的最小值是3，

故选：B

关键点点睛：本题关键是将，变形为，利用三角换元，转化为三角函数求解.

二、多选题

16．已知且，则下列结论中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】

由且，可以得到，，然后结合不等式的性质容易对A，B，C选项进行判断，然后利用基本不等式可对D选项进行判断.

【详解】

A：因为且，所以，即，，不一定等于1，故A项不一定成立；

B：因为，所以，所以B项一定成立；

C：因为，所以，C项一定成立；

D：，D项一定成立.

17．已知均为正实数，且，则（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】AC

【解析】

对于选项A，直接根据基本不等式可求得结果；

对于选项B，化为积为定值的形式后，根据基本不等式求出最小值可得答案；

对于选项C，变形后利用二次函数求出最小值可得答案；

对于选项D，变形后利用基本不等式求出最小值可得答案.

【详解】

对于选项A，，当且仅当时取“”，故A正确；

对于选项B，，

当且仅当时取“”，故B错误；

对于选项C，

，

当且仅当时取“”，故C正确；

对于选项D，

，

令，，

则，所以

，

当且仅当，即，时取“”，

所以，

所以，当且仅当，时取“”，

故选项D错误.

故选：AC.

【点睛】

方法点睛：利用基本不等式求解最值问题常采用常数代换法，其解题步骤为：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；（2）把定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；（4）利用基本不等式求解最值．

18．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】

根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

【详解】

对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

三、填空题

19．已知向量，，且，则___________.

【答案】

【解析】

由垂直的坐标表示求得，再由模的坐标运算求解．

【详解】

由得，，

则，所以．

故答案为：．

20．已知点在线段上运动，则的最大值是____________．

【答案】

【解析】

直接利用基本不等式计算可得；

【详解】

解：由题设可得：，即，

∴，即，当且仅当时取“=”，

故答案为：．

21．已知，为实数，则______．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）

【答案】≥

【解析】

利用作差法，配方即可比较大小.

【详解】

，

当且仅当，取等号．

故答案为：≥

22．若x，y满足约束条件则的最大值是__________．

【答案】

【解析】

在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线，在平面区域内找到一点使得直线在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.

【详解】

不等式组表示的平面区域为下图所示：

平移直线，当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最大，

此时点的坐标是方程组的解，解得：，

因此的最大值为：.

故答案为：.

23．若，则的最大值是___________.

【答案】

【解析】

根据约束条件作出可行域以及直线过点A时在轴上的截距最小，有最大值，得出答案.

【详解】

根据约束条件作出可行域如图所示，

由解得

将目标函数化为，

表示直线在轴上的截距的相反数的

故当直线在轴上的截距最小时，有最大值.

当直线过点（2,1）时在轴上的截距最小，最大，

由A(2,1)知的最小值为

故答案为：

24．已知向量，满足，．若，且，则的最大值为______．

【答案】

【解析】

令，，利用已知作出以为直径作直角三角形的外接圆，令，连接．设，由已知点在直线上，

【详解】

令，，则，故，又，所以．以为直径作直角三角形的外接圆，进而得出当时，即取得最大值．

令，连接．设，因为，所以点在直线上，又，所以，即，所以．结合图形可知，当时，即取得最大值，且．

故答案为：

25．已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.

【答案】

【解析】

首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.

【详解】

由题意可得：，

由向量垂直的充分必要条件可得：，

即：，解得：.

故答案为：．

26．设为单位向量，且，则______________.

【答案】

【解析】

整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.

【详解】

因为为单位向量，所以

所以

解得：

所以

故答案为：

27．平面向量､､，满足，，，则对任意，的最大值为___________.

【答案】

【解析】

建立平面直角坐标系，可得点的轨迹方程为，然后化简所求式子，转化为两个圆的点之间的最大值问题，简单判断即可.

【详解】

由，，可设

由，把坐标代入化简可得：

所以点点的轨迹方程为

又，

所以求的最大值即两个圆、上动点最大值，如图所示;

当过两圆的圆心时，有最大即

故答案为：

28．已知向量，，满足，与的夹角为，则的最大值为______．

【答案】

【解析】

根据题意设，，，则，，，，由条件可得，后能结合正弦定理得到动点的轨迹，利用得到动点的轨迹，然后数形结合得到的最大值，即的最大值.

【详解】

因为，所以，．

设，，，则，

，，．

因为与的夹角为，所以，

的外接圆的直径为：

则动点的轨迹是半径为的圆中的优弧（不含点，），

由，则动点的轨迹是以点为圆心、半径为的圆，如图，

结合图形可知，当点，，，四点共线，且在线段的延长线上时，最大，且最大值是，

故的最大值为．

故答案为：

【点睛】

关键点睛：本题考查向量的运算和模长的最值问题，解答本题的关键是在中，根据题意得到，后能结合正弦定理得到动点的轨迹，利用得到动点的轨迹，然后数形结合得到的最大值，即的最大值．属于中档题.

29．李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入_______万元．

【答案】

【解析】

设李明获得的利润为万元，求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的的值.

【详解】

设李明获得的利润为万元，则，

则

，

当且仅当，因为，即当时，等号成立.

故答案为：.

30．已知正实数，，，满足，其中，，则的最小值为______.

【答案】12

【解析】

解法一根据可知，得到，然后变形所求的式子并结合基本不等式可知结果.

解法二对取对数可知，，然后代入所求式子并结合基本不等式可知结果.

【详解】

解法一  由得，，所以，所以，即，所以.

因为，所以，当且仅当时等号成立.故，所以的最小值为12.

解法二  对两边同时取对数，得，，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为12.

故答案为：12

【点睛】

关键点定睛：解法一关键在于得到，解法二结合对数，同时两种解法都使用基本不等式.

31．已知数列是等差数列，，，，则的最大值是______．

【答案】

【解析】

由等差数列得通项公式可的设，，则不等式组等价为，

，利用线性规划知识求最值即可.

【详解】

设等差数列的公差为，由题设知，，

设，，则不等式组等价为，

对应的可行域为如图所示的三角形及其内部，由，

由可得，

作沿着可行域的方向平移，当直线过点时，取得最大值．

由 解得，

所以 ，

故答案为：

32．设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．

【答案】

【解析】

利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.

【详解】

，

，

，

.

故答案为：.

四、双空题

33．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

【答案】       

【解析】

可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.

【详解】

，，，

，

解得，

以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

,

∵，∴的坐标为,

∵又∵,则，设，则（其中），

，，

，

所以，当时，取得最小值.

故答案为：；.

五、解答题

34．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）

（1）写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式；

（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）（2）故当施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元．

【解析】

（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；

（2）分段判断的单调性，及利用基本不等式求出的最大值即可．

【详解】

（1）依题意，又

所以．

（2）当时，，开口向上，对称轴为，

在，上单调递减，在，上单调递增，

在，上的最大值为．

当时，，

当且仅当时，即时等号成立．

因为，所以当时，．

答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．