高考数学经典例题专题九计数原理概率统计含解析

这是一份高考数学经典例题专题九计数原理概率统计含解析，共39页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题九 计数原理概率统计
一、单选题
1．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位……，上面一颗珠（简称上珠）代表5，下面一颗珠（简称下珠）代表1，即五颗下珠的大小等于同组一颗上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一颗上珠，从个位、十位和百位这三组中随机往上拨2颗下珠，算盘表示的数能被5整除的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据珠算的运算法则，把题干描述的操作所得到的数都列出来，找出其中能被5整除的即可.
【详解】
由题意可知，若上珠下拨的是个位，表示5，下珠上的两个都在个位、十位、百位，这时表示的数是，，；若上珠下拨的是十位，表示50，下珠上的两个都在个位、十位、百位，这时表示的数是算盘所表示的数是，，；若上珠下拨的是个位，表示5，下珠上的两个分别在个位、十位，或者个位、百位，或者十位、百位，这时表示的数是，，；若上珠下拨的是十位，表示50，下珠上的两个分别在个位、十位，或者个位、百位，或者十位、百位，这时表示的数是，，，所以表示的数可能有7，16，25，52，61，70，106，115，151，160，205，250，其中能被5整除的有6个，故所求事件的概率为.
故选：B．
2．国庆节期间，小明在中下载了两首歌曲：《今天是你的生日》和《我和我的祖国》，他选择的是随机播放的形式，每4分钟变化一次，其中出现《今天是你的生日》的概率为，出现《我和我的祖国》的概率为．若在前8次播放中出现《今天是你的生日》有5次、出现《我和我的祖国》有3次，则前2次出现《今天是你的生日》，其余6次可任意出现《今天是你的生日》3次的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用相互独立事件的概率公式和独立重复试验的概率公式求解即可
【详解】
解：由题意得，出现《今天是你的生日》的概率为，出现《我和我的祖国》的概率为，
所以前两次出现《今天是你的生日》的概率为，其余6次出现《今天是你的生日》3次的概率，
所以所求概率为，
故选：C．
3．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i
A．5 B．8 C．10 D．15
【答案】C
【解析】
根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足
从开始，利用列举法即可解出．
【详解】
根据题意可知，原位大三和弦满足：．
∴；；；；．
原位小三和弦满足：．
∴；；；；．
故个数之和为10．
故选：C．
4． 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【解析】
求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.
【详解】
展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C
5．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
【答案】C
【解析】
根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
【详解】
因为数据的方差是数据的方差的倍，
所以所求数据方差为
故选：C
6．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.
【详解】
对于A选项，该组数据的平均数为，
方差为；
对于B选项，该组数据的平均数为，
方差为；
对于C选项，该组数据的平均数为，
方差为；
对于D选项，该组数据的平均数为，
方差为.
因此，B选项这一组的标准差最大.
故选：B.
7． 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
【答案】C
【解析】
分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】
首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C
8．设，则随机变量的分布列是：

则当在内增大时（ ）
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【解析】
方法1：由分布列得，则
，则当在内增大时，先减小后增大.
方法2：则
故选D.
9．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（ ）


A．10 B．18 C．20 D．36
【答案】B
【解析】
根据直方图确定直径落在区间之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.
【详解】
根据直方图，直径落在区间之间的零件频率为：，
则区间内零件的个数为：.
故选：B.
10．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【答案】C
【解析】
首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.
【详解】
第一步，将3名学生分成两个组，有种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法
所以，不同的安排方法共有种
故选：C
11．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】
由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.
故选：D.
12．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．
二、多选题
13．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天日平均温度不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据（数据都是正整数，单位℃）满足以下条件：
甲地：5个数据的中位数是24，众数是22；
乙地：5个数据的中位数是27，平均数是24；
丙地：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是10.2．
则下列说法正确的是（ ）
A．进入夏季的地区有2个 B．丙地区肯定进入了夏季
C．乙地区肯定还未进入夏季 D．不能肯定甲地区进入了夏季
【答案】ABC
【解析】
根据中位数、平均数，方差判断三地数据中最低的温度是否低于22℃，即可得．
【详解】
甲地：设甲地的其他两个数据分别为，，且，将5个数据由小到大排列得22，22，24，，，其中，满足进入夏季的标志；
乙地：设乙地其他四个数据分别为，，，，且，将5个数据由小到大排列得，，27，，，则，而，故，其中必有一个小于22，故不满足进入夏季的标志；
丙地：设5个数据分别为，，，，32，且，由方差公式可知，则
，易知，，，均大于22，满足进入夏季的标志综上，ABC正确，
故选：ABC．
14．某学校为研究高三学生的考试成绩，根据高三第一次模拟考试在高三学生中随机抽取50名学生的思想政治考试成绩绘制成频率分布直方图如图所示，已知思想政治成绩在的学生人数为15，把频率看作概率，根据频率分布直方图，下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．本次思想政治考试平均分为80
D．从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在内的概率为
【答案】ABD
【解析】
对于A，直接利用已知的数据可求出的值；对于B，利用所有频率和为1求解；对于C，利用平均数的定义求解即可；对于D，由频率分布直方图可得内的概率为0.16，从而可得结论
【详解】
由题知，，选项A正确；
，选项B正确；
本次思想政治考试平均分估计值为，选项C错误；
可知在内的概率为0.16，从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在内的概率为，选项D正确，
故选：ABD．
15．某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：

则下列说法中正确的有（ ）
A．与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少
B．2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍
C．2010年与2020年艺体达线人数相同
D．与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加
【答案】BD
【解析】
根据柱状图中的数据求解.
【详解】
设2010年高考考生人数为a，则2020年的高考考生人数是的1.5a，
A. 2010年一本达线人数为0.28a，2020年一本达线人数a，故错误；
B. 2020年二本达线率是，2010年二本达线率是，，故正确；
C. 2010年艺体达线人数0.08a， 2020年艺体达线人数，故错误；
D.与2010年不上线的人数0.32a,相比，2020年不上线的人数,故正确；
故选：BD
16．据了解，到本世纪中叶中国人口老龄化问题将日趋严重，如图是专家预测中国2050年人口比例图，若从2050年开始退休年龄将延迟到65岁，则下列叙述正确的是（ ）

A．到2050年已经退休的人数将超过
B．2050年中国46~55岁的人数比16~25岁的人数多
C．2050年中国25岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5倍
D．若从中抽取10人，则抽到5人的年龄在36~45岁之间的概率为
【答案】AC
【解析】
A：根据饼状图直接判断即可；
B：根据饼状图的数据进行运算判断即可；
C：根据饼状图的数据进行运算判断即可；
D：根据二项分布的概率公式进行运算判断即可.
【详解】
由饼状图知2050年中国将有约的人已经退休，所以选项A正确；
设46~55岁的人数为人，16~25岁的人数为人，则46~55岁的人数比16~25岁的人数多，所以选项B错误；
25岁以上未退休的人口数占，已退休人口数占，所以25岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5倍，所以选项C正确；
年龄在36~45岁之间的概率为．从所有人中抽取10人，则抽到5人的年龄在36~45岁之间的概率为，所以选项D错误，
故选：AC．
17．我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是

A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
【答案】CD
【解析】
注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD正确.
【详解】
由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；
由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;
由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;
由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;
18．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C．若，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
【答案】AC
【解析】
对于A选项，求得，由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性.
【详解】
对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.
对于B选项，若，则，，
所以，
当时，，
当时，，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若，则
，
则随着的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.

.
由于，所以，所以，
所以，
所以，所以D选项错误.
故选：AC
三、填空题
19．已知二项式的展开式的二项式系数之和为64，且二项式的展开式中项的系数为15，则______．
【答案】
【解析】
由题意可得，从而可求得，进而可得二项式展开式的通项公式，再由已知条件列方程可求出的值
【详解】
由展开式的二项式系数之和为64，可得，
∴，则展开式的通项为，当时，，
∴，∴．
故答案为：
20．已知一组数据的平均数为4，则的值是_____.
【答案】2
【解析】
根据平均数的公式进行求解即可．
【详解】
∵数据的平均数为4
∴，即.
故答案为：2.
21．在的展开式中，的系数是_________．
【答案】10
【解析】
写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．
【详解】
因为的展开式的通项公式为，令，解得．
所以的系数为．
故答案为：．
22．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
【答案】
【解析】
根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.
【详解】
甲、乙两球落入盒子的概率分别为，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.
故答案为：；.
四、双空题
23．设，则________；________．
【答案】
【解析】
利用二项式展开式的通项公式计算即可.
【详解】
的通项为，
令，则，故；
.
故答案为：；.
24．盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______．
【答案】
【解析】
先确定对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期望公式求结果.
【详解】
因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以，
随机变量，
，
，
所以.
故答案为：.
五、解答题
25． 2020年新冠肺炎疫情肆虐全球，各个国家都翘首以盼疫苗上市.现在全球已经有多款疫苗上市，并且陆续在各个国家开始接种.如今我国有一款疫苗，经过三期临床试验以后，估计该款疫苗每次接种的有效率可达90%，并且已经陆续接到其他国家的订单.现已知该款疫苗需要接种两次，假设前后两次接种互不影响.
（1）某人接种了我国的这款疫苗，则其可以接种成功的概率为多少？
（2）已知某国家已经有意向与我国签订疫苗订单，买疫苗之后免费为本国首批10万人注射.但是由于部分人可能在两次注射疫苗之后未接种成功，所以该国决定购买一批预备疫苗为之后没有接种成功的人进行第二轮注射，第二轮注射仍为注射两次.根据以上信息，估计理想情况下该国需要从我国一共购买多少支疫苗？
【答案】（1）99%；（2）购买20.2万支疫苗.
【解析】
（1）利用概率的加法公式根据题意计算即可；
（2）结合第（1）问，用频率估计概率，再用概率估计总体..
【详解】
（1）方法一：接种两次的情况下接种成功，可能会出现“第一次接种成功､第二次接种不成功”“第一次接种不成功､第二次接种成功”“两次都接种成功”3种情况.
则其概率，
∴此人可以接种成功的概率为99%.
方法二：接种两次的情况下接种成功，可以转化为“1-两次接种都不成功的概率”，
因此所求概率，
∴此人可以接种成功的概率为99%.
（2）由（1）可得，接种该款疫苗可以接种成功的概率为99%，未接种成功的概率为1%，
∴(人)，则有1000人需要进行第二轮注射，
∴(万支)，
∴估计理想情况下该国需要从我国一共购买20.2万支疫苗.
26．某通信公司为了更好地满足不同层次的消费者对流量的需求，准备推出两款流量包“普通版”和“自由版”．该通信公司选了某个城市作为试点，结果如下表，其中年龄低于40岁的总人数与不低于40岁的总人数之比为．
年龄（单位：岁）






自由版
5
9
12
5
5
2
普通版
0
1
3
5

6
（Ⅰ）若以“年龄是否低于40岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有的把握认为选择不同款式的流量包与人的年龄有关；

年龄低于40岁的人数
年龄不低于40岁的人数
合计
自由版



普通版



合计



（Ⅱ）为制定合理的资费标准，该公司以“年龄是否低于40岁为分界点”采用分层抽样的方式从中抽取9人进行市场调研，再从中选5人进行电话咨询，设其中40岁以下的人数为，求的分布列及数学期望．
参考数据：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，其中．
【答案】（Ⅰ）列联表见解析，有的把握认为选择不同款式的流量包与人的年龄有关；（Ⅱ）分布列见解析，.
【解析】
（Ⅰ）首先利用年龄低于40岁的总人数与不低于40岁的总人数之比为，求出，由表中数据即可完善列联表，由列联表求出观测值，根据独立性检验的基本思想即可求解.
（Ⅱ）利用分层抽样可得低于40岁抽取6人，不低于40岁应抽取3人，得出低于40岁的人数的可能取值，再根据超几何分布得出分布列，求出数学期望即可.
【详解】
（Ⅰ）由题中所给数据可得低于40岁共40人，不低于40岁的人数为．
又年龄低于40岁的总人数与不低于40岁的总人数之比为，所以．
由此可得

年龄低于40岁的人数
年龄不低于40岁的人数
合计
自由版
31
7
38
普通版
9
13
22
合计
40
20
60
，
所以有的把握认为选择不同款式的流量包与人的年龄有关．
（Ⅱ）由已知得低于40岁共40人，不低于40岁共20人，由此可得低于40岁抽取6人，不低于40岁应抽取3人，从9人中抽取5人，
则其中低于40岁的人数的取值可能为2，3，4，5，
，
，
，
，
所以的分布列为

2
3
4
5





．
27．下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【答案】（1）利用模型①预测值为226.1，利用模型②预测值为256.5，（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
【解析】
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
28．（2021·全国高三其他模拟）在年的新冠肺炎疫情影响下，国内国际经济形势呈现出前所未有的格局．某企业统计了年前个月份企业的利润，如下表所示：
月份





企业的利润（万元）





（1）根据所给的数据建立该企业所获得的利润（万元）关于月份的回归直线方程，并预测年月份该企业所获得的利润；
（2）企业产品的质量是企业的生命，该企业为了生产优质的产品投放市场，对于生产的每一件产品必须要经过四个环节的质量检查，若每个环节中出现不合格产品立即进行修复，且每个环节是相互独立的，前三个环节中生产的产品合格的概率为，每个环节中不合格产品所需要的修复费用均为元，第四个环节中产品合格的概率为，不合格产品需要的修复费用为元，设每件产品修复的费用为元，写出的分布列，并求出每件产品需要修复的平均费用．
参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，为样本数据的平均值．
【答案】（1）；万元；（2）分布列见解析；修复的平均费用为元．
【解析】
（1）根据给出的数值，计算出，，利用最小二乘法可得回归直线的方程；
（2）由题意可确定所有可能的取值，依次求出每个取值对应的概率，进而得到分布列，由数学期望计算公式可求出期望．
【详解】
（1）由表格数据知：，，
，
由回归直线经过样本点的中心可知：，，
则回归直线方程为：．
预测年月份该企业所获得的利润为：（万元）．
（2）根据题意知所有可能取值为：，，，，，，，，
；；；；；；；；
的分布列为：


















，
即每件产品需要修复的平均费用为元.
29． 2021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四种中选两种．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人统计选考科目人数如下表：

选考物理
选考历史
共计
男生
40

50
女生



共计

30

（Ⅰ）补全列联表；
（Ⅱ）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查了本校的3名学生．设这3人中选考历史的人数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）根据表中数据判断是否有的把握认为“选考物理与性别有关”？请说明理由．
参考附表：

0.100
0.050
0.025

2.706
3.841
5.024
参考公式：，其中．
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ）有，理由见解析．
【解析】
（Ⅰ）根据题意补全列联表；
（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，服从二项分布，运用独立重复试验公式求出概率后列出分布列，再根据二项分布求出期望；
（Ⅲ）根据列联表，利用公式计算出临界值，与临界值表中的数据进行比较，即可得出结论．
【详解】
解：（Ⅰ）根据题意补全列联表，如下：

选考物理
选考历史
共计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
共计
70
30
100
（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3，随机变量服从二项分布，
由题意，学生选考历史的概率为，
且，
，
，
，
，
的分布列为

0
1
2
3





．
（Ⅲ）由表中数据，计算的观测值，
参照附表知，有的把握认为“选考物理与性别有关”．
30．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；
（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
【详解】
（1）记事件甲连胜四场，则；
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为；
（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
记事件甲赢，记事件丙赢，
则甲赢的基本事件包括：、、、
、、、、，
所以，甲赢的概率为.
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为.
31．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
【答案】（1）甲分厂加工出来的级品的概率为，乙分厂加工出来的级品的概率为；（2）选甲分厂，理由见解析.
【解析】
（1）根据两个频数分布表即可求出；
（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．
【详解】
（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为；
（2）甲分厂加工件产品的总利润为元，
所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；
乙分厂加工件产品的总利润为
元，
所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
32．某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；
（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）应该对余下的产品作检验.
【解析】
（1）件产品中恰有件不合格品的概率为.
因此.
令，得.当时，；当时，.
所以的最大值点为；
（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.
所以.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于，故应该对余下的产品作检验.
33．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
交付金额（元）
支付方式
（0,1000]
（1000,2000]
大于2000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人

（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ)见解析；
(Ⅲ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：人，则：
该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率.
(Ⅱ)由题意可知，
仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，
仅使用B支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，
且X可能的取值为0,1,2.
，，，
X的分布列为：
X
0
1
2





其数学期望：.
(Ⅲ)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：
随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率．
学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”.
34．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
故，从面.
所以，随机变量的分布列为：

0
1
2
3






随机变量的数学期望.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.
且.
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：



.
35．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（1）求p1·q1和p2·q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；
（2）根据操作，依次求，即得递推关系，构造等比数列求得，最后根据数学期望公式求结果.
【详解】
（1），
，
.
（2），
，
因此，
从而，
即.
又的分布列为

0
1
2




故.