高考数学经典例题专题十一坐标系参数方程与不等式选讲含解析

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1．在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．
（1）求，的值
（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．
【答案】（1）（2）
【解析】
(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.
【详解】
（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
，
因为点为直线上，故其直角坐标方程为，
又对应的圆的直角坐标方程为：，
由解得或，
对应的点为，故对应的极径为或.
（2），
，
当时；
当时，舍；即所求交点坐标为当
2．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.
（1）求||：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由参数方程得出的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出的值；
（2）由的坐标得出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.
【详解】
（1）令，则，解得或（舍），则，即.
令，则，解得或（舍），则，即.
；
（2）由（1）可知，
则直线的方程为，即.
由可得，直线的极坐标方程为.
3．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，是什么曲线？
（2）当时，求与的公共点的直角坐标．
【答案】（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）.
【解析】
（1）利用消去参数，求出曲线的普通方程，即可得出结论；
（2）当时，，曲线的参数方程化为 为参数），两式相加消去参数，得普通方程，由，将曲线 化为直角坐标方程，联立方程，即可求解.
【详解】
（1）当时，曲线的参数方程为为参数），
两式平方相加得，
所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
（2）当时，曲线的参数方程为为参数），
所以，曲线的参数方程化为为参数），
两式相加得曲线方程为，
得，平方得，
曲线的极坐标方程为，
曲线直角坐标方程为，
联立方程，
整理得，解得或 （舍去），
，公共点的直角坐标为 .
4．已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.
【详解】
（1）由得的普通方程为：；
由得：，两式作差可得的普通方程为：.
（2）由得：，即；
设所求圆圆心的直角坐标为，其中，
则，解得：，所求圆的半径，
所求圆的直角坐标方程为：，即，
所求圆的极坐标方程为.
5．已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若点为直线上的动点，点是曲线上的动点，求的最小值.
【答案】（1）的普通方程是，的直角坐标方程是；（2）.
【解析】
（1）由可将曲线的参数方程化为普通方程，利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可得出直线的直角坐标方程；
（2）设点，利用点到直线的距离公式、辅助角公式以及余弦函数的有界性可求得的最小值.
【详解】
（1）由得，，即，
故曲线的普通方程是.
由及公式，得，
故直线的直角坐标方程是；
（2）直线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），
设，点到直线距离为（其中），
当时，，所以.
6．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，曲线和曲线交于A，两点，求的值.
【答案】（1）的普通方程为：，的直角坐标方程为：；（2）.
【解析】
（1）由极坐标与直角的互化公式，求得曲线的直角坐标方程，再由曲线的参数方程，消去参数，即可得到曲线的普通方程；
（2）由点在直线上，得出曲线的一个参数方程为（为参数），代入曲线，利用根与系数的关系，结合参数的几何意义，即可求解.
【详解】
（1）曲线的参数方程为（为参数），消去参数得，
故曲线的普通方程为：，
由得曲线的直角坐标方程为：；
（2）由（1）得曲线的参数方程为（为参数），代人的方程得，
整理得，设A，两点所对应的参数分别为，所以，，
由参数的几何意义知.
7．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与交于，两点，求证：为定值.
【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）证明见解析.
【解析】
（1）消去参数后，得到曲线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，，求曲线的直角坐标方程；（2）首先判断的几何意义是抛物线上的点(除原点外)与原点连线的斜率，再将曲线代入，
转化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系表示.
【详解】
（1）解：由(为参数)，消去参数，
得，
即的普通方程为.
由，
得，
将，代入，得，
∴的直角坐标方程为.
（2）证明：由(为参数)，
得，
故的几何意义是抛物线上的点(除原点外)与原点连线的斜率.
由（1）知，当时，：，
则与只有一个交点，不合题意，故.
把代入，
得，
设，两点所对应的参数分别为，，
则，，
∴.
8．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
（1）求曲线的普通方程和直线的倾斜角;
（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于不同的两点，求的值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）根据参数方程与普通方程的转化可得曲线C的普通方程；由极坐标与直角坐标的转化可得直线l的直角坐标方程，即可得直线的倾斜角；
（2）将直线l的直角坐标方程化为标准参数方程，联立椭圆方程，结合参数方程的几何意义即可求解.
【详解】
（1）曲线的参数方程为，则有，
则，即曲线的普通方程为.
直线的极坐标方程，展开可得，
将代入，可得，即，即，
所以斜率，则，
由，可得，所以直线的倾斜角为.
（2）由（1）知，点在直线上，
则直线的参数方程为(为参数).
将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得
整理得：，
设点对应的参数分别为，则.
所以
【点睛】
方法点睛：本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程几何意义求线段关系，利用直线的参数方程求直线与圆锥曲线相交的弦长，方法是：
（1）将直线参数方程代入圆锥曲线方程，得到关于参数t的一元二次方程；
（2）利用韦达定理写出，；
（3）利用弦长公式代入计算.
9．在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为．
（1）将的参数方程化为普通方程，的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求与直线平行且与曲线相切的直线的直角坐标方程．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）将转化为消去求解；
（2）设切线方程为，联立，由求解.
【详解】
（1）因为曲线的参数方程为（为参数），
所以消去得.
因为直线的极坐标方程为，
所以，
即，所以.
（2）设切线方程为，由，
得，
所以，解得，
所以切线方程是，
10．在花语中，四叶草象征幸运.已知在极坐标系下，方程对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”.
（1）当“四叶草”中的时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点的极坐标；
（2）已知为“四叶草”上的点，求点到直线距离的最小值以及此时点的极坐标.
【答案】（1）和；（2）最小值为1，.
【解析】
（1）直接利用单位圆与方程联立即可求解；
（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，观察发现点到直线的距离即为最小值
【详解】
（1）以极点为圆心的单位圆的极坐标方程为：，
所以联立，得或，
所以所求交点的极坐标为和.
（2）直线的直角坐标方程为，
“四叶草”极径的最大值为2，且可于点处取得，
连接且与直线垂直且交于点，
所以点与点M的距离的最小值为1.
11．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点的坐标为．
（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（2）若直线：（为参数）与曲线交于，两点，若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）先消去参数得到的直角坐标方程，再利用代入即得 的极坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得到关于t的二次方程，再根据判别式大于零和，即解得 的取值范围.
【详解】
解：（1）因为的参数方程为（ 为参数），所以的直角坐标方程为，即 ，故的极坐标方程为；
（2）将直线：（ 为参数）代入，可得：，则 ，即，
因为，所以 或，
故的取值范围为．
12．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，求出的普通方程，并说明该曲线的图形形状．
（2）当时，P是曲线上一点，Q是曲线上一点，求的最小值．
【答案】（1），是以，为端点的线段；（2）.
【解析】
（1）利用消去参数，求出曲线的普通方程，即可得出结论；
（2）当时，曲线得普通方程，由，将曲线 化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式可求解.
【详解】
（1）当时，消t得，
是以，为端点的线段．
（2）当时，曲线的普通方程为椭圆：；
由得曲线的普通方程为直线：；
由得，
，
可知直线与椭圆相离，则的最小值为P到直线的距离最小值，
则，当时，有最小值．
13．（Ⅰ）求的解集；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设，，，证明：，，不能都大于1．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）讨论、、分别求得解集，取并即为所求解集M.
（Ⅱ）根据基本不等式有，，，结合反证法即可证明结论.
【详解】
（Ⅰ）由题设，，
∴当时，，得；
当时，恒成立；
当时，，得；
∴综上，得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，，，
∴，，，其中等号成立的条件为.
∴，
假设，，都大于1，即显然与结论矛盾.
∴，，不能都大于1，得证.
14．已知
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）设的最大值为，如果正实数，满足，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）利用零点分解法解不等式即可.
（Ⅱ）去绝对值，写出分段函数的解析式，根据函数的单调性求出函数的最大值，从而可得，再利用基本不等式即可求解.
【详解】
解：（Ⅰ）
①当时，，，，
②当时，，；
③当时，，
综上知不等式的解集为.
（Ⅱ）由已知，，在是增函数，
所以，
，，
则.
当且仅当，即，
即，时，取得最小值.
15．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若方程有实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）分，，三种情况求解即可得答案.
（2）结合(1)的结论首先确定函数的最小值，再解即可得答案.
【详解】
（1）依题意，.
当时，，解得；
当时，，解得，无解；
当时，，则，故；
故不等式的解集为.
（2）依题意，，
由一次函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增，
所以，即的值域为，
因为方程有实数解，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
16．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，使不等式成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）分三种情况去掉绝对值后解不等式即可；
（2）令，求出其最大值，然后使其最大值大于等于，解关于的不等式即可得答案
【详解】
（1），
或或
解得或或
或或
原不等式的解集为
（2）令
则
，
存在，使得成立，
，
故满足条件的的取值范围为
17．已知的最小值为．
（1）求的值；
（2）已知，且，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析；
【解析】
（1）去绝对值变成分段函数，根据分段函数的单调性可求出的最小值，与已知最小值相等列式可求出；
（2）利用分析法结合基本不等式即可证明．
【详解】
解：（1），
在区间，上单调递减，在区间，上单调递增，
，
；
（2）由（1），，且，
要证，
只要证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证，
显然，当且仅当时取等号．
．
18．数.
（1）求不等式的解集;
（2）已知函数的最小值为，正实数满足证明:
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）解含绝对值的不等式，先要去掉绝对值号，将函数写为分段函数，然后再在各个区间求解，取并集.
（2）求出函数的最小值，即得出，结合所要证明的不等式，联想到基本不等式进行求解.
【详解】
(1)解:由题可得，
所以
即或或
解得或
所以不等式的解集为.
证明:，
则
则，
故
当且仅当时取等号.
【点睛】
（1）解双绝对值不等式的办法通常利用分段函数，在不同区间上求解，最后取并集.
（2）利用求出最小值，即特别要结合所证明的不等式的特点来进行变形，以应用基本不等式解决问题，抓住特点是核心.
19．已知函数
（1）当时，解不等式
（2）记集合，若存在使，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
（1）根据绝对值的定义分类讨论解不等式；
（2）由绝对值三角不等式的最小值，得值域，属于这个值域，从而得，解之可得结论．
【详解】
解:（1）当时有;
当时，则，
故；
当时，.
则.无解﹔
当时，则.
故．
故不等式的解集为或
（2）
当且仅当时取等号.
则可知.
即的值域为，
因为存在使.
故.
则故实数的取值范围为.
20．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）利用零点分段法，解不等式组即可得到结果.
（2）由绝对值三角不等式可得，从而得到，然后解不等式可得的范围．
【详解】
（1），
∴ 或 或 ，
解得：，
不等式的解集为；
（2）因为，当时可取到等号，所以，令，
则为上的增函数，且，
所以，
故的取值范围为．
21．已知函数f(x)=|x-2|+|x+1|.
（1）解不等式f(x)>x+2；
（2）记f(x)的最小值为m，正实数a，b，c满足a+b+c=m，证明：
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用“零点分段法”，分为，，三种情形，解不等式即可；
（2）根据绝对值三角不等式求出的值，可得，由柯西不等式可得结果.
【详解】
（1）当时，，解得，所以；
当时，解得所以
当时，解得所以
综上，或故不等式的解集是.
（2）因为当且仅当时等号成立，
所以
当且仅当即时等号成立，
所以.
22．已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）当时，求得函数的解析式，分类讨论，即可求解；
（2）当，化简函数的解析式，利用一次函数的性质，求得，结合题意列出不等式，即可求解.
【详解】
（1）当时，函数，
当时，由，可得，解得；
当时，由，可得，解得；
当时，由，可得，此时解集为空集，
综上所述：不等式的解集为.
（2）若，函数
由一次函数性质可知在为减函数，在为增函数，
所以，
因为不等式恒成立，即，即，解得
又因为，所以，即实数a的取值范围.
23．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）记的最小值为M，a，b，c为正实数且，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；
（2）根据函数的单调性求出的最小值，则，由基本不等式可得，，，相加后化简即可.
【详解】
（1）依题意得，
,,,
综上可得的解集是；
（2）由可知
在上递减，在上递增，
的最小值为，即.
所以，
由，，，
相加可得，
即，
当且仅当时取等号．
24．已知，，，证明：
(1)；
(2).
【答案】(1) 见解析(2) 见解析
【解析】
（1）由柯西不等式即可证明，
（2）由a3+b3＝2转化为ab，再由均值不等式可得：ab≤，即可得到（a+b）3≤2，问题得以证明．
【详解】
证明：（1）由柯西不等式得： 当且仅当ab5＝ba5，即a＝b＝1时取等号；
（2）∵a3+b3＝2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，
∴ab，
由均值不等式可得：ab≤
∴（a+b）3﹣2，
∴（a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．
25．已知为正数,且,证明:
(1)；
(2).
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）将a+b+c＝2平方，然后将基本不等式三式相加，进行证明；（2）由，三式相乘进行证明.
【详解】
(1)将a+b+c＝2平方得:，
由基本不等式知:，
三式相加得:，
则
所以，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立
(2)由，同理
则，
即当且仅当时等号成立
26．
设函数．
（1）画出的图像；
（2）当，，求的最小值．
【答案】（1）见解析
（2）
【解析】
（1） 的图像如图所示．
（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．
27．设，且.
（1）求的最小值；
（2）若成立，证明：或.
【答案】(1) ；(2)见详解.
【解析】
(1) 故等号成立当且仅当而又因，解得时等号成立
所以的最小值为.
(2)
因为，所以.
根据柯西不等式等号成立条件，当，即时有成立.
所以成立，所以有或.
28．已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）
当且仅当时取等号
，即：
（2），当且仅当时取等号
又，，（当且仅当时等号同时成立）
又
29．已知
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）当时，原不等式可化为；
当时，原不等式可化为，即，显然成立，
此时解集为；
当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集；
当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集；
综上，原不等式的解集为；
（2）当时，因为，所以由可得，
即，显然恒成立；所以满足题意；
当时，，因为时， 显然不能成立，所以不满足题意；
综上，的取值范围是.
30．设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；(2) .
【解析】
（1）当时，
可得的解集为．
（2）等价于．
而，且当时等号成立．故等价于．
由可得或，所以的取值范围是．
31．已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）当时，，即
故不等式的解集为．
（2）当时成立等价于当时成立．
若，则当时；
若，的解集为，所以，故．
综上，的取值范围为．
32．
在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
（1）由，得的直角坐标方程为
．
（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．
由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．
综上，所求的方程为．
33．在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为.
（1）求A，B两点间的距离；
（2）求点B到直线l的距离.
【答案】（1）；
（2）2.
【解析】
（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，），B（，），
由余弦定理，得AB=.
（2）因为直线l的方程为，
则直线l过点，倾斜角为．
又，所以点B到直线l的距离为.
34．如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.
（1）分别写出，，的极坐标方程；
（2）曲线由，，构成，若点在上，且，求的极坐标.
【答案】(1) ,,,
(2) ,,,.
【解析】
(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.
，
,.
(2)解方程得，此时P的极坐标为
解方程得或，此时P的极坐标为或
解方程得，此时P的极坐标为
故P的极坐标为,,,.
35．在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.
（1）当时，求及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
【答案】（1），l的极坐标方程为；（2）
【解析】
（1）因为点在曲线上，
所以；
即，所以，
因为直线l过点且与垂直，
所以直线的直角坐标方程为，即；
因此，其极坐标方程为，即l的极坐标方程为；
（2）设，则， ，
由题意，，所以，故，整理得，
因为P在线段OM上，M在C上运动，所以，
所以，P点轨迹的极坐标方程为，即.