高考数学一轮复习练20第三章三角函数解三角形第二讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式含解析新人教版

第二讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式

A组基础巩固

一、单选题

1．(2021·新疆普通高中学业水平考试)已知x∈，cos x＝，则tan x的值为(　B　)

A.　　 B．－　　

C．　　 D．－

[解析]　因为x∈，所以sin x＝－＝－，所以tan x＝＝－.故选B.

2．(2021·福建泉州第一次检测)已知α为第二象限角，则＋的值是(　B　)

A．－1　　 B．1　　

C．－3　　 D．3

[解析]　∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，

∴＋＝＋＝＋＝1.选B.

3．sin ＋cos－tan ＝(　A　)

A．0　　 B．　　

C．1　　 D．－

[解析]　原式＝sin＋cos－tan＝sin ＋cos －tan ＝＋－1＝0.

4．(2020·福州市质检)已知sin＝，且θ∈，则cos＝(　C　)

A．0　　 B．　　

C．1　　 D．

[解析]　由sin＝，且θ∈得，θ＝，所以cos＝cos 0＝1，故选C.

5．(2021·湖北宜昌联考)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3，4)，则sin＝(　B　)

A．－　　 B．－　　

C．　　 D．

[解析]　角α的终边经过点P(3，4)，根据三角函数的定义得到sin α＝，cos α＝，所以sin＝－sin＝－sin＝－cos α＝－.故选B.

6．(2020·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－，则tan α＋等于(　A　)

A．2　　 B．　　

C．－2　　 D．－

[解析]　由已知得1＋2sin αcos α＝2，

∴sin αcos α＝，

∴tan α＋＝＋

＝＝＝2.

7．(2021·沧州七校联考)已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值是(　A　)

A.　　 B．－　　

C．－2　　 D．2

[解析]　由＝5，得＝5，

即tan α＝2.

所以sin2α－sin αcos α

＝＝＝.

二、多选题

8．若cos(π－α)＝－，则(　CD　)

A．sin(－α)＝　　 B．sin＝－

C．cos(π＋α)＝－　　 D．cos(α－π)＝－

[解析]　本题考查诱导公式和同角三角函数的关系．

由cos(π－α)＝－可得cos α＝，则sin α＝±.

对于A.sin(－α)＝－sin α＝±，所以不正确．

对于B.sin＝cos α＝，所以不正确．

对于C.cos(π＋α)＝－cos α＝－，所以正确．

对于D.cos(α－π)＝－cos α＝－，所以正确．故选CD.

9．若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有(　AB　)

A．tan α＝

B．cos α＝

C．sin α＋cos α＝

D．sin α－cos α＝－

[解析]　∵sin α＝，且α为锐角，

∴cos α＝＝＝，故B正确，

∴tan α＝＝＝，故A正确，

∴sin α＋cos α＝＋＝≠，故C错误，

∴sin α－cos α＝－＝≠－，故D错误．

10．已知sin θ＝，cos θ＝，其中θ∈，则下列结论不正确的是(　ABC　)

A．m≤－5　　 B．3≤m<5

C．m＝0　　 D．m＝8

[解析]　因为θ∈，所以sin θ＝≥0　①，cos θ＝≤0　②，且＋＝1，整理得＝1，即5m2－22m＋25＝m2＋10m＋25，即4m(m－8)＝0，解得m＝0或m＝8，又m＝0不满足①②两式，m＝8满足①②两式，故m＝8.故选A、B、C.

三、填空题

11．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝  －  ．

[解析]　f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－.

12．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α＝  0  ．

[解析]　原式＝cos α＋

sin α＝cos α＋sin α.

因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，

所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，

即原式等于0.

13．(2020·江西九江一中月考)已知cos＝，则cos－sin2＝  －  ．

[解析]　cos－sin2

＝cos －sin2＝－cos－sin2＝cos2－cos－1＝－.

14．(2020·山西太原一中月考)已知sin(3π＋α)＝2sin，则的值为  －  ．

[解析]　∵sin(3π＋α)＝2sin，∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，∴tan α＝2，∴＝＝－.

B组能力提升

1．已知sin(π－α)＝log8，且α∈，则tan(2π－α)的值为(　B　)

A．－　　 B．　　

C．±　　 D．

[解析]　sin(π－α)＝sin α＝log8＝－.

又因为α∈，所以cos α＝＝，

所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.

2．已知2tan α·sin α＝3，－<α<0，则sin α等于(　B　)

A.　　 B．－　　

C．　　 D．－

[解析]　∵2tan α·sin α＝3，∴＝3，即2cos2α＋3cos α－2＝0.

又－<α<0，∴cos α＝(cos α＝－2舍去)，∴sin α＝－.

3．(2020·湖北武汉部分重点中学第一次联考)已知角θ与角φ的终边关于直线y＝x对称，且θ＝－，则sin φ＝(　D　)

A．－　　 B．　　

C．－　　 D．

[解析]　因为角θ与角φ的终边关于直线y＝x对称，所以θ＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，又θ＝－，所以φ＝2kπ＋(k∈Z)．于是sin φ＝sin＝sin ＝sin ＝.故选D.

4．(2021·贵州贵阳联考)已知角α的始边与x轴正半轴重合且终边过点(4，5)，则的值为  －  .

[解析]　本题考查利用三角函数的定义，诱导公式以及同角三角函数基本关系化简求值．因为角α的始边与x轴正半轴重合且终边过点(4，5)，所以tan α＝，因此＝＝－＝－＝－.

5．(2020·吉林长春月考)已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：

(1)＋的值；

(2)m的值；

(3)方程的两根及θ的值．

[解析]　(1)由已知得

则＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝.

(2)将①式两边平方得1＋2sin θcos θ＝.

所以sin θcos θ＝.

由②式得＝，所以m＝.

(3)由(2)可知原方程变为

2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝.

所以或

又θ∈(0，2π)，所以θ＝或θ＝.