高考数学一轮复习练22第三章三角函数解三角形第三讲第2课时三角函数式的化简与求值含解析新人教版

第二课时　三角函数式的化简与求值

A组基础巩固

一、单选题

1．(2021·河北唐山摸底)cos 105°－cos 15°＝(　D　)

A．　　 B．－

C.　　 D．－

[解析]　解法一：cos 105°－cos 15°＝cos(60°＋45°)－cos(60°－45°)＝－2sin 60°sin 45°＝－2××＝－，故选D.

解法二：由题意可知cos 105°－cos 15°＝－sin 15°－cos 15°＝－(sin 15°＋cos 15°)＝－sin(45°＋15°)＝－sin 60°＝－，故选D.

2．(2020·北京东城区模拟)等于(　C　)

A．－　　 B．　　

C．　　 D．1

[解析]　原式＝

＝＝＝.

3．(2021·山东青岛调研)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　A　)

A．－　　 B．　　

C．　　 D．－

[解析]　∵α∈，sin α＝，

∴cos α＝－，tan α＝－，

又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，

∴tan(α－β)＝＝＝－.

4．(2020·广东佛山一中月考)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为(　B　)

A．　　 B．　　

C．－　　 D．－

[解析]　因为α为锐角，且cos＝，

所以sin＝＝，

所以sin＝2sincos＝2××＝，故选B.

5．(2021·河南郑州一中月考)若＝4，则tan＝(　C　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　∵＝＝＝4，∴tan＝＝.故选C.

6．(2020·全国高考信息卷)若α为第二象限角，且sin 2α＝sincos(π－α)，则cos的值为(　A　)

A．－　　 B．　　

C．　　 D．－

[解析]　∵sin 2α＝sincos(π－α)，

∴2sin αcos α＝－cos2α，∵α是第二象限角，

∴cos α≠0,2sin α＝－cos α，∴4sin2α＝cos2α＝1－sin2α，

∴sin2α＝，∴cos＝cos 2α＋sin 2α＝cos2α－sin2α＋2sin αcos α＝－sin2α＝－，故选A.

二、多选题

7．(2021·湖南岳阳三校第一次联考改编)已知α为三角形内角，且满足cos 2α＝sin α，则α的值为(　AD　)

A．30°　　 B．135°

C．60°　　 D．150°

[解析]　由cos 2α＝sin α，得1－2sin2α＝sin α，即2sin2α＋sin α－1＝0，得sin α＝或sin α＝－1.因为α为三角形内角，所以sin α＝，所以α＝30°或150°，故选A、D.

8．(2020·江西九江两校第二次联考改编)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x，若α∈(0，π)，且f(α)＝，则α的值为(　AC　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　由题意知f(x)＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝sin 4x＋cos 4x＝sin，

因为f(α)＝sin＝，

所以4α＋＝＋2kπ，k∈Z，即α＝＋，k∈Z.

因为α∈(0，π)，所以α＝或α＝＋＝，故选A、C.

三、填空题

9．(2021·江苏镇江中学模拟)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝　　.

[解析]　∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，

∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝－tan 10°tan 50°，

∴原式＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.

10．(2021·福建宁德质检)若sin＝(sin α＋2cos α)，则sin 2α＝　－　.

[解析]　∵sin＝(sin α＋2cos α)，∴sin α＋3cos α＝0，故tan α＝－3，

sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝＝－.

11．(此题为更换后新题)(2020·浙江诸暨中学期中)＝__2__.

[解析]　原式＝＝

＝＝2.

11．(此题为发现的重题，更换新题见上题)(2020·浙江诸暨中学期中)＝　－4　.

[解析]　原式＝

＝

＝＝－4.

12．(2021·山东烟台模拟)已知θ∈，且sin＝，则tan θ＝　　，tan 2θ＝　－　.

[解析]　解法一：由sin＝，得sin θ－cos θ＝，可得2sin θcos θ＝，

又θ∈，可求得sin θ＋cos θ＝，

∴sin θ＝，cos θ＝，

∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.

解法二：∵θ∈且sin＝，

∴cos＝，

∴tan＝＝，解得tan θ＝.

故tan 2θ＝＝－.

四、解答题

13．(2021·江西临川一中月考)已知0<x<，sin＝，求的值．

[解析]　解法一：(先化简后求值)：原式＝＝(cos x＋sin x)＝2cos.

因为0<x<，所以0<－x<，

则原式＝2＝.

解法二：(先局部后整体)：cos

＝cos ＝sin＝.

下面从两个角度求cos 2x.

角度1：cos 2x＝sin＝sin ＝2sincos；

角度2：cos 2x＝cos2x－sin2x＝(cos x－sin x)·(cos x＋sin x)＝sin·cos＝2sin·cos.　

因为0<x<，所以0<－x<，则cos＝＝，故cos 2x＝2××＝.

所以＝.

14．已知α，β均为锐角，且tan α＝，cos(α＋β)＝－.

(1)求cos 2α的值；

(2)求tan(α－β)的值．

[解析]　(1)因为tan α＝，tan α＝，

所以sin α＝cos α.因为sin2α＋cos2α＝1，

所以cos2α＝，因此cos 2α＝2cos2α－1＝－.

(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．

又因为cos(α＋β)＝－，

所以sin(α＋β)＝＝，

因此tan(α＋β)＝－2.

因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－.

因此，tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)]

＝＝－.

B组能力提升

1．若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，α，β∈，则＝(　A　)

A．2　　 B．　　

C．3　　 D．

[解析]　∵sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)＝3sin(α－β)，

∴sin αcos β＝2cos αsin β，∴tan α＝2tan β，

即＝2，故选A.

2．(2020·安徽毛坦厂中学4月联考)＝(　D　)

A．2　　 B．　　

C．　　 D．1

[解析]　原式＝＝＝1.故选D.

3．(多选题)(2021·湖北八校第一次联考改编)已知3π≤θ≤4π，且＋＝，则θ＝(　CD　)

A．π　　 B．π　　

C．　　 D．π

[解析]　∵3π≤θ≤4π，∴≤≤2π，∴cos >0，sin <0，则＋＝＋＝cos －sin ＝cos＝，

∴cos＝，∴＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z.∵3π≤θ≤4π.∴θ＝或，故选C、D.

4．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝　－　.

[解析]　由已知，得tan α＋tan β＝－3a，tan αtan β＝3a＋1，∴tan(α＋β)＝1.∵α，β∈，tan α＋tan β＝－3a<0，tan αtan β＝3a＋1>0，∴tan α<0，tan β<0，∴α，β∈，

∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.

5．(2021·江西吉安白鹭洲中学联考)已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.

(1)求sin 2β的值；

(2)求cos的值．

[解析]　(1)解法一：∵cos＝cos cos β＋sin ·sin β＝(sin β＋cos β)＝，

∴cos β＋sin β＝，∴1＋sin 2β＝，∴sin 2β＝－.

解法二：sin 2β＝cos＝2cos2－1＝－.

(2)∵0<α<<β<π，

∴<β－<，<α＋β<，

∴sin>0，cos(α＋β)<0.

∵cos＝，sin(α＋β)＝，

∴sin＝，cos(α＋β)＝－.

∴cos＝cos ＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝.