高考数学一轮复习第三章第三节第1课时两角和与差的正弦余弦和正切公式课时作业理含解析北师大版

第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

授课提示：对应学生用书第303页

[A组　基础保分练]

1．（2021·山西省名校联考）若cos＝－，则cos＋cos α＝（　　）

A．－　　　　　　　 B．±

C．－1  D．±1

解析：cos＋cos α＝cos α＋sin α＋cos α＝cos＝－1．

答案：C

2．（2020·高考全国卷Ⅲ）已知sin θ＋sin＝1，则sin＝（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：因为sin θ＋sin＝sin＋sin＝sincos －cossin ＋sincos ＋cossin ＝2sin·cos＝sin＝1，所以sin＝．

答案：B

3．（2021·新余模拟）若sin ＝，则sin4α－cos4α的值为（　　）

A．  B．

C．－  D．－

解析：因为sin＝，所以cos  2α＝，因此sin4α－cos4α＝（sin2α＋cos2α）（sin2α－cos2α）＝－（cos2α－sin2α）＝－cos  2α＝－，选D．

答案：D

4．（2021·成都诊断性检测）已知tan α＝，α∈（0，π），则cos的值为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：因为tan α＝，α∈（0，π），所以sin α＝，cos α＝，故cos＝cos αcos－sin αsin ＝×－×＝．

答案：A

5．已知θ∈，tan＝－，那么sin的值为（　　）

A．  B．

C．－  D．－

解析：法一：由tan＝－，得＝－，则tan θ＝－，又θ∈，所以cos θ＝－，sin θ＝，所以sin＝sin θcos ＋cos θsin＝×－×＝－．

法二：由θ∈，得θ－∈，

又tan＝－，所以θ－∈，

所以cos＝－，sin

＝sin＝cos＝－．

答案：C

6．（2021·宜春丰城中学段考）已知sin＋sin α＝－，－<α<0，则cos等于（　　）

A．  B．－

C．－  D．

解析：∵sin＋sin α＝sin α＋cos α＋sin α＝sin α＋cos α＝＝－．

∴sin α＋cos α＝－，即sin＝－，

∴cos＝cos＝－sin＝．

答案：D

7．已知tan α＝，tan＝，则m＝_________．

解析：由题意，tan α＝，tan＝＝，

则＝，所以m＝－6或1．

答案：－6或1

8．（2021·厦门模拟）若sin（α＋β）＝，sin（α－β）＝，则＝_________．

解析：∵sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝，

sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝，

由上面两式，解得sin αcos β＝，cos αsin β＝－，

则＝＝－2．

答案：－2

9．已知α∈，sin α＝．

（1）求sin的值；

（2）求cos的值．

解析：（1）因为α∈，sin α＝，

所以cos α＝－＝－，

故sin＝sin cos α＋cos sin α

＝×＋×＝－．

（2）由（1）知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin2 α＝1－2×＝，

所以cos＝coscos 2α＋sinsin 2α

＝×＋×

＝－．

[B组　能力提升练]

1．的值是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：原式＝＝

＝＝．

答案：C

2．（2021·河南九师联盟质检）若α∈，且cos  2α＝sin，则tan α＝（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：因为α∈，所以sin  α＋cos  α>0．

因为cos  2α＝sin ，

所以（cos α＋sin α）（cos α－sin α）＝（sin α＋cos α），

所以cos  α－sin  α＝．

将cos  α－sin  α＝两边平方可得1－2sin αcos  α＝，

所以sin  αcos  α＝．所以＝．

分子、分母同除以cos2 α可得＝，

解得tan  α＝或（舍），即tan  α＝．

答案：A

3．若sin＝，则cos＝（　　）

A．－  B．－

C．  D．

解析：cos＝cos＝－cos

＝－＝－．

答案：A

4．（2021·广州市高三第二次综合测试）若α，β为锐角，且cos＝sin，则（　　）

A．α＋β＝  B．α＋β＝

C．α－β＝  D．α－β＝

解析：因为α，β为锐角，所以0<α<，0<β<，则－<－α<，＜＋β<，故cos>0，所以sin>0，即<＋β<π，cos＝sin＝sin＝sin，又<＋α<，所以＋α＝＋β，即α－β＝．

答案：C

5．已知sin 2α＝，则cos2＝_________．

解析：cos2＝

＝＋sin 2α＝＋×＝．

答案：

6．已知0<α<，且sin α＝，则tan＝　　　　，＝_________．

解析：因为0<α<，且sin α＝，

所以cos α＝＝，

所以tan α＝＝，

则tan＝tan＝＝7．

＝＝＝＝．

答案：7　

7．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P．

（1）求sin（α＋π）的值；

（2）若角β满足sin（α＋β）＝，求cos β的值．

解析：（1）由角α的终边过点P得sin α＝－，所以sin（α＋π）＝－sin α＝．

（2）由角α的终边过点P得cos α＝－，由sin（α＋β）＝得cos（α＋β）＝±．

由β＝（α＋β）－α得

cos β＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α，

所以cos β＝－或cos β＝．

8．已知α∈，且sin＋cos＝．

（1）求cos α的值；

（2）若sin（α－β）＝－，β∈，求cos β的值．

解析：（1）由sin＋cos＝得1＋sin α＝，

所以sin α＝，因为α∈，所以cos α＝－．

（2）由题意知α－β∈（－，），因为sin（α－β）＝－，所以cos（α－β）＝，所以cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）＝－×＋×＝－．

[C组　创新应用练]

如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是．

（1）求cos（α－β）的值；

（2）求2α－β的值．

解析：（1）由题意，OA＝OM＝1，

因为S△OAM＝，α为锐角，

所以sin α＝，cos α＝．

又点B的纵坐标是．

所以sin β＝，cos β＝－，

所以cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－．

（2）因为cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－，

sin 2α＝2sin α·cos α＝2××＝，

所以2α∈．

因为β∈，

所以2α－β∈．

因为sin（2α－β）＝sin 2α·cos β－cos 2α·sin β＝－，所以2α－β＝－．