高考数学一轮复习第五章第三节等比数列及其前n项和课时作业理含解析北师大版

第三节 等比数列及其前n项和

授课提示：对应学生用书第327页

[A组　基础保分练]

1．（2021·石家庄高三二检）在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16，则a6＝（　　）

A．14　　　　　　　 B．28

C．32  D．64

解析：∵a2＝2，a5＝16，∴q3＝＝8，∴q＝2，a6＝a5×q＝32．

答案：C

2．（2021·兰州市高三实战考试）等比数列{an}的各项均为正数，Sn是其前n项和，满足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则S4＝（　　）

A．9　　　 B．15 

C．18　　　 D．30

解析：设数列{an}的公比为q，由2S3＝8a1＋3a2可得2（a1＋a2＋a3）＝8a1＋3a2，得2a3＝6a1＋a2，即2q2－q－6＝0，所以q＝2，因为a4＝16，所以a1×23＝16，解得a1＝2，所以S4＝＝30．

答案：D

3．（2021·淄博模拟）已知{an}是等比数列，若a1＝1，a6＝8a3，数列的前n项和为Tn，则T5＝（　　）

A．　　　 B．31 

C．　　　 D．7

解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝1，a6＝8a3，所以q3＝8，解得q＝2．所以an＝2n－1．所以＝．所以数列是首项为1，公比为的等比数列．则T5＝＝．

答案：A

4．（2021·济南模拟）已知正项等比数列{an}满足a3＝1，a5与a4的等差中项为，则a1的值为（　　）

A．4  B．2

C．  D．

解析：由题意知，2×＝a5＋a4，即3a4＋2a5＝2．设数列{an}的公比为q（q＞0），则由a3＝1，得3q＋2q2＝2，解得q＝或q＝－2（舍去），所以a1＝＝4．

答案：A

5．（2021·南宁统一考试）设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的（　　）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：等比数列{an}为递增数列的充要条件为或故“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．

答案：D

6．（2021·泰安模拟）在各项均为正数的等比数列{an}中，a6＝3，则a4＋a8有（　　）

A．最小值6  B．最大值6

C．最大值9  D．最小值3

解析：设等比数列{an}的公比为q（q＞0）．∵a6＝3，

∴a4＝＝，a8＝a6q2＝3q2，∴a4＋a8＝＋3q2≥2＝6．当且仅当q＝1时上式等号成立．

答案：A

7．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a8＋a9＋a10＝________．

解析：由等比数列的性质，根据a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝（a1＋a2＋a3）q＝2，解得q＝2，a8＋a9＋a10＝（a1＋a2＋a3）q7＝27＝128．

答案：128

8．（2021·安庆模拟）数列{an}满足：an＋1＝λan－1（n∈N＋，λ∈R且λ≠0），若数列{an－1}是等比数列，则λ的值为________．

解析：由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ．由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，得λ＝2．

答案：2

9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2．

（1）若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；

（2）若T3＝21，求S3．

解析：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋（n－1）d，bn＝qn－1．

由a2＋b2＝2得d＋q＝3．①

（1）由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6．②

联立①和②解得（舍去），

因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1．

（2）由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0，

解得q＝－5或q＝4．

当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21．

当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6．

10．（2021·武汉毕业班调研）已知正项等比数列{an}的前n项和Sn满足S2＋4S4＝S6，a1＝1．

（1）求数列{an}的公比q；

（2）令bn＝an－15，求T＝|b1|＋|b2|＋…＋|b10|的值．

解析：（1）由题意可得q≠1，

由S2＋4S4＝S6，

可知＋4·＝，

所以（1－q2）＋4（1－q4）＝1－q6，而q≠1，q＞0，

所以1＋4（1＋q2）＝1＋q2＋q4，即q4－3q2－4＝0，

所以（q2－4）（q2＋1）＝0，所以q＝2．

（2）由（1）知an＝2n－1，则{an}的前n项和Sn＝＝2n－1，当n≥5时，bn＝2n－1－15＞0，n≤4时，bn＝2n－1－15＜0，

所以T＝－（b1＋b2＋b3＋b4）＋（b5＋b6＋…＋b10）

＝－（a1＋a2＋a3＋a4－15×4）＋（a5＋a6＋…＋a10－15×6）

＝－S4＋S10－S4＋60－90

＝S10－2S4－30＝（210－1）－2（24－1）－30

＝210－25－29＝1 024－32－29＝963．

[B组　能力提升练]

1．在等比数列{an}中，a4，a6是方程x2＋5x＋1＝0的两根，则a5＝（　　）

A．1  B．±1

C．  D．±

解析：在等比数列{an}中，由题意知a4＋a6＝－5，a4·a6＝1，所以a4＜0，a6＜0，a＝a4·a6＝1，即a5＝±1．

答案：B

2．（2021·枣庄模拟）若{an}是首项为1的等比数列，则“＞9”是“a2＞3”的（　　）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：若＞9，则q2＞9，又a1＝1，则a2＜－3或a2＞3；若a2＝q＞3，则＝q2＞9．

答案：B

3．已知正项等比数列{an}满足a2·a·a2 020＝16，则a1·a2·…·a1 017＝（　　）

A．41 017  B．21 017

C．41 018  D．21 018

解析：由a2·a·a2 020＝16，

可得（a7a1 011）2＝16，

所以a7a1 011＝4，a509＝2，

所以a1·a2·…·a1 017＝（a7a1 011）508·a509＝21 017．

答案：B

4．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若数列{Sn－2a1}也为等比数列，则＝（　　）

A．  B．1

C．  D．2

解析：设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn－2a1＝na1－2a1＝（n－2）a1，显然{Sn－2a1}不为等比数列．当q≠1时，Sn－2a1＝－2a1＝－qn＋－2a1，欲符合题意，需－2a1＝0，得q＝，故＝q＝．

答案：A

5．已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N＋，都有＝an，则数列{an}的前n项和Sn＝________．

解析：因为＝an，

令m＝1，则＝an，即＝a1＝2，

所以{an}是首项a1＝2，公比q＝2的等比数列，

Sn＝＝2n＋1－2．

答案：2n＋1－2

6．（2021·黄冈模拟）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a6＝2a3，a4与2a6的等差中项为，则S5＝________．

解析：设{an}的公比为q（q＞0），因为a1a6＝2a3，而a1a6＝a3a4，所以a3a4＝2a3，所以a4＝2．

又a4＋2a6＝3，所以a6＝，所以q＝，a1＝16，所以S5＝＝31．

答案：31

7．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N＋．

（1）判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；

（2）求T2n．

解析：（1）因为an·an＋1＝，

所以an＋1·an＋2＝，

所以＝，

即an＋2＝an．

因为bn＝a2n＋a2n－1，

所以＝＝＝，

因为a1＝1，a1·a2＝，

所以a2＝，所以b1＝a1＋a2＝．

所以{bn}是首项为，公比为的等比数列．

所以bn＝×＝．

（2）由（1）可知，an＋2＝an，

所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列，

所以T2n＝（a1＋a3＋…＋a2n－1）＋（a2＋a4＋…＋a2n）

＝＋＝3－．

[C组　创新应用练]

1．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”．已知数列{1，2}．第一次“H扩展”后得到{1，3，2}；第二次“H扩展”后得到{1，4，3，5，2}．那么第10次“H扩展”后得到的数列的项数为（　　）

A．1 023  B．1 025

C．513  D．511

解析：设第n次“H扩展”后得到的数列的项数为an，则n＋1次“H扩展”后得到的数列的项数为an＋1＝2an－1，

∴an＋1－1＝2（an－1），∴＝2．又a1－1＝3－1＝2，

∴{an－1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an－1＝2·2n－1，∴an＝2n＋1，∴a10＝210＋1＝1 025．

答案：B

2．中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了（　　）

A．6里  B．12里

C．24里  D．96里

解析：由题意可得，每天行走的路程构成等比数列，记作数列{an}，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则q＝，依题意有＝378，解得a1＝192，则a6＝192×＝6，最后一天走了6里．

答案：A

3．（2021·北京市石景山区模拟）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N＋）个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝则解下4个环所需的最少移动次数a4为（　　）

A．7  B．10

C．12  D．22

解析：因为数列{an}满足a1＝1，且an＝所以a2＝2a1－1＝2－1＝1，所以a3＝2a2＋2＝2×1＋2＝4，所以a4＝2a3－1＝2×4－1＝7．

答案：A