高考数学一轮复习第六章第四节推理与证明课时作业理含解析北师大版

第四节 推理与证明

授课提示：对应学生用书第337页

[A组　基础保分练]

1．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋（　　）

A．都大于2　　　　　 B．至少有一个大于2

C．至少有一个不小于2  D．至少有一个不大于2

解析：因为＋＋＋＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，所以＋，＋，＋中至少有一个不小于2．

答案：C

2．如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n个图形由正（n＋2）边形扩展而成，n∈N＋，则第n个图形的顶点个数是（　　）

A．（2n＋1）（2n＋2）  B．3（2n＋2）

C．2n（5n＋1）  D．（n＋2）（n＋3）

解析：由题图我们可以得到，当n＝1时，顶点个数为12＝3×4，n＝2时，顶点个数为20＝4×5，n＝3时，顶点个数为30＝5×6，n＝4时，顶点个数为42＝6×7，…，由此我们可以推断：第n个图形共有（n＋2）·（n＋3）个顶点．

答案：D

3．（2020·高考全国卷Ⅱ）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k－j＝3且j－i＝4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（　　）

A．5  B．8

C．10  D．15

解析：满足条件1≤i＜j＜k≤12，k－j＝3且j－i＝4的（i，j，k）有（1，5，8），（2，6，9），（3，7，10），（4，8，11），（5，9，12），共5个；满足条件1≤i＜j＜k≤12，k－j＝4且j－i＝3的（i，j，k）有（1，4，8），（2，5，9），（3，6，10），（4，7，11），（5，8，12），共5个．所以一共有10个．

答案：C

4．用数学归纳法证明：“（n＋1）·（n＋2）·…·（n＋n）＝2n·1·3·…·（2n－1）”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为（　　）

A．2k＋1　　　　　　　 B．2（2k＋1）

C．  D．

解析：依题意当n＝k时，左边＝（k＋1）（k＋2）（k＋3）…（k＋k），当n＝k＋1时，左边＝（k＋1＋1）（k＋1＋2）（k＋1＋3）…（k＋1＋k）（k＋1＋k＋1），从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为＝2（2k＋1）．

答案：B

5．（2021·孝义期末测试）我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到直线x＋2y＋2z＋3＝0的距离为（　　）

A．3  B．5

C．  D．3

解析：类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点（x0，y0，z0）到直线Ax＋By＋Cz＋D＝0的距离公式为d＝，则所求距离d＝＝5．

答案：B

6．已知a，b，c∈R，若·>1且＋≥－2，则下列结论成立的是（　　）

A．a，b，c同号

B．b，c同号，a与它们异号

C．a，c同号，b与它们异号

D．b，c同号，a与b，c的符号关系不确定

解析：由·>1知与同号，

若>0且>0，不等式＋≥－2显然成立，

若<0且<0，则－>0，－>0，

＋≥2>2，即＋<－2，

这与＋≥－2矛盾，故>0且>0，即a，b，c同号．

答案：A

7．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设________．

解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．

答案：x≠－1且x≠1

8．将1，2，3，4…这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．

解析：由三角形数组可推断出，第n行共有2n－1个数，且最后一个数为n2，所以第10行共19个数，最后一个数为100，左数第10个数是91．

答案：91

9．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：>8．

证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，

所以－1＝＝>，①

－1＝＝>，②

－1＝＝>，③

又x，y，z为正数，由①×②×③，

得>8．

10．（2021·常德模拟）设a>0，f（x）＝，令a1＝1，an＋1＝f（an），n∈N＋．

（1）写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；

（2）用数学归纳法证明你的结论．

解析：（1）∵a1＝1，∴a2＝f（a1）＝f（1）＝，

a3＝f（a2）＝＝；

a4＝f（a3）＝＝．

猜想an＝（n∈N＋）．

（2）证明：①易知，n＝1时，猜想正确．

②假设n＝k（k∈N＋）时猜想正确，

即ak＝，则当n＝k＋1时，

ak＋1＝f（ak）＝＝＝＝．

这说明，n＝k＋1时猜想正确．

由①②知，对于任何n∈N＋，都有an＝．

[B组　能力提升练]

1．正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x2＋1）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x2＋1）是奇函数，以上推理（　　）

A．结论正确　　　　　　　 B．大前提不正确

C．小前提不正确  D．全不正确

解析：因为f（x）＝sin（x2＋1）不是正弦函数，所以小前提不正确．

答案：C

2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：<a”索的因应是（　　）

A．a－b>0  B．a－c>0

C．（a－b）（a－c）>0  D．（a－b）（a－c）<0

解析：<a⇔b2－ac<3a2

⇔（a＋c）2－ac<3a2

⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0

⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0

⇔（a－c）（2a＋c）>0⇔（a－c）（a－b）>0．

答案：C

3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是（　　）

A．n（n＋1）  B．

C．  D．n（n－1）

解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n＝．

答案：C

4．如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai（i＝1，2，3，4），此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi（i＝1，2，3，4），若＝＝＝＝k，则1×h1＋2×h2＋3×h3＋4×h4＝．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si（i＝1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi（i＝1，2，3，4），若＝＝＝＝k，则H1＋2H2＋3H3＋4H4值为（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．  D．

解析：∵V＝S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝（kH1＋2kH2＋3kH3＋4kH4）

∴H1＋2H2＋3H3＋4H4＝．

答案：B

5．（2021·兰州市高考实战模拟）观察下列式子：1，1＋2＋1，1＋2＋3＋2＋1，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N＋，1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________．

解析：因为1＝12，1＋2＋1＝22，1＋2＋3＋2＋1＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，所以归纳可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2．

答案：n2

6．在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径r＝．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R＝________．

解析：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径R＝．理由如下：

设三棱锥的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，

由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，

所以V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝SR，

所以内切球的半径R＝．

答案：

7．我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y＝f（x）（x∈D），对任意x，y，∈D均满足f≥[f（x）＋f（y）]，当且仅当x＝y时等号成立．

（1）若定义在（0，＋∞）上的函数f（x）∈M，试比较f（3）＋f（5）与2f（4）的大小；

（2）设函数g（x）＝－x2，求证：g（x）∈M．

解析：（1）对于f≥[f（x）＋f（y）]，

令x＝3，y＝5得f（3）＋f（5）≤2f（4）．

（2）证明：g－[g（x1）＋g（x2）]

＝＋＝≥0，

当且仅当x1＝x2时取等号，

所以g≥［g（x1）＋g（x2）］，

所以g（x）∈M．

［C组〓创新应用练］

1．（2021·惠州市高三二调）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：

依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“[XCS346．TIF；BP]”，其表示的十进制数是[JY]（    ）

A．33 B．34

C．36 D．35

解析：由题意可知，六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34．

答案：   B

2．一布袋中装有n个小球，甲、乙两个同学轮流抓球，且不放回，每次最少抓一个球，最多抓三个球．规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（    ）

A．若n＝9，则乙有必赢的策略

B．若n＝7，则甲有必赢的策略

C．若n＝6，则甲有必赢的策略

D．若n＝4，则乙有必赢的策略

解析：若n＝9，则乙有必赢的策略．（1）若乙抓1个球，甲抓1个球时，乙再抓3个球，此时剩余4个球，无论甲抓1～3的哪种情况，乙都能保证抓最后一个球；（2）若乙抓1个球，甲抓2个球时，乙再抓2个球，此时剩余4个球，无论甲抓1～3的哪种情况，乙都能保证抓最后一个球；（3）若乙抓1个球，甲抓3个球时，乙再抓1个球，此时剩余4个球，无论甲抓1～3的哪种情况，乙都能保证抓最后一个球．所以若n＝9，则乙有必赢的策略．

答案： A