高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数课时规范练理含解析新人教版

第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

[A组　基础对点练]

1．给出下列四个命题：

①－75°是第四象限角，②225°是第三象限角，③475°是第二象限角，④－315°是第一象限角，其中正确的命题有(　　)

A．1个　　　　B．2个    C．3个　　　　D．4个

解析：由象限角概念易知①②正确；因为475°＝360°＋115°，所以③正确；因为－315°＝－360°＋45°，所以④正确．

答案：D

2．若角α终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α等于(　　)

A．1     B．－1

C．     D．－

解析：由题意知，x＝1，y＝－1，r＝＝，

所以cos α＝＝＝.

答案：C

3．若sin ＜0，cos ＞0，则θ是(　　)

A．第一象限角     B．第二象限角

C．第三象限角     D．第四象限角

解析：∵sin ＝cos θ＜0，cos ＝sin  θ＞0，∴θ是第二象限角．

答案：B

4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为(　　)

A．2     B．4

C．6     D．8

解析：设扇形所在圆的半径为R，则2＝×4R2，

所以R2＝1，所以R＝1，

扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.

答案：C

5．(2020·四川石室中学质检)已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋＝(　　)

A．－     B．

C．     D．

解析：∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－，cos α＝，∴sin α＋＝－＋＝.

答案：D

6．如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　)

解析：因为P0(，－)，所以∠P0Ox＝－.

因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t后，

得∠POP0＝t，所以∠POx＝t－.

由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin (t－)，

因此d＝2|sin (t－)|.令t＝0，则d＝2|sin (－)|＝，当t＝时，d＝0.故选C.

答案：C

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为______________．

解析：如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ，Q为垂足．

根据题意得劣弧＝2，

故∠DCP＝2，则在△PCQ中，∠PCQ＝2－，

|CQ|＝cos (2－)＝sin 2，

|PQ|＝sin (2－)＝－cos 2，

所以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin 2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos 2，

所以P点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，

故＝(2－sin 2，1－cos 2).

答案：(2－sin 2，1－cos 2)

8．(2021·河北衡水周测)若＜θ＜，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是________．

解析：如图所示，在单位圆中，MP＝sin θ，OM＝cos θ，AT＝tan θ，显然有tan θ＞sin  θ＞cos θ.

答案：tan θ ＞sin θ ＞cos  θ

9．－2 017°角是第________象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________．

解析：因为－2 017°＝－6×360°＋143°，

所以－2 017°角的终边与143°角的终边相同．

所以－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°.又143°－360°＝－217°，故与－2 017°角终边相同的最大负角是－217°.

答案：二　143°　－217°

10．已知tan θ<0，且角θ终边上一点为(－1，y)，且cos θ＝－，则y＝________．

解析：因为cos θ＝－<0，tan θ<0，所以θ为第二象限角，则y>0，所以由＝－，得y＝.

答案：

11．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为________．

解析：由三角函数的定义有tan 420°＝.

又tan 420°＝tan (360°＋60°)＝tan 60°＝，故＝，

得a＝－4.

答案：－4

[B组　素养提升练]

1．(2021·浙江舟山中学模拟)已知α的终边过点P(－a，－3a)，a≠0，则sin α等于(　　)

A．或

B．

C．或－

D．或－

解析：当a＞0时，r＝ ＝a，

利用三角函数的定义可得sin α＝－；

当a＜0时，r＝  ＝－a，

利用三角函数的定义可得sin α＝.

答案：D

2．(2021·石家庄市模拟)已知角α(0°≤α＜360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝(　　)

A．150°     B．135°

C．300°     D．60°

解析：因为sin 150°＝＞0，cos 150°＝－＜0，所以角α终边上一点的坐标为，所以该点在第四象限．由三角函数的定义得sin α＝－，又0°≤α＜360°，所以角α的值是300°.

答案：C

3．(2020·河北秦皇岛模拟)若角α的终边经过点P(－3，b)，且cos α＝－，则b＝________，sin α＝________．

解析：因为P(－3，b)，所以|OP|＝  ，

由cos α＝＝－，得|OP|＝5，

即＝5，

即b2＝16，所以b＝±4.

若b＝4时，sin α＝；

若b＝－4时，sin α＝－.

答案：±4　±

4．写出下面各图中终边在阴影内的角的集合(包括边界).

(1)________________________________________________________________________；

(2)________________________________________________________________________.

解析：(1)先写出一周内的，再加360°的整数倍，得.

(2)从135°角的终边开始逆时针旋转到与－45°角终边相同的角应为135°＋180°＝315°，

所以答案为{α|k·360°＋135°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}．

答案：(1)

(2)

5．已知α＝.

(1)写出所有与角α终边相同的角；

(2)写出在(－4π，2π)内与角α终边相同的角；

(3)若角β与α终边相同，则是第几象限的角？

解析：(1)所有与角α终边相同的角可表示为.

(2)由(1)令－4π<2kπ＋<2π(k∈Z)，则有－2－<k<1－.

又因为k∈Z，所以取k＝－2，－1，0，故在(－4π，2π)内与角α终边相同的角是－，－，.

(3)由(1)有β＝2kπ＋(k∈Z)，则＝kπ＋(k∈Z)，当k为偶数时，在第一象限，

当k为奇数时，在第三象限，

所以是第一、三象限的角．

6．已知＝－，且lg cos α有意义．

(1)试判断角α所在的象限；

(2)若角α的终边上有一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．

解析：(1)由＝－可知，

sin α<0，

所以α是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上的角．

由lg cos α有意义可知cos α>0，

所以α是第一或第四象限角或终边在x轴的非负半轴上的角．

综上可知，角α是第四象限角．

(2)因为|OM|＝1，

所以＋m2＝1，解得m＝±.

又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.

由正弦函数的定义可知

sin α＝＝＝＝－.